Question

（2013•東營）如圖，AB為⊙O的直徑，點C為⊙O上一點，若∠BAC=∠CAM，過點C作直線l垂直于射線AM，垂足為點D．
（1）試判斷CD與⊙O的位置關系，并說明理由；
（2）若直線l與AB的延長線相交于點E，⊙O的半徑為3，并且∠CAB=30°，求CE的長．

Answer 1

分析：（1）連接OC，根據OA=OC，推出∠BAC=∠OCA，求出∠OCA=∠CAM，推出OC∥AM，求出OC⊥CD，根據切線的判定推出即可；
（2）根據OC=OA推出∠BAC=∠ACO，求出∠COE=2∠CAB=60°，在Rt△COE中，根據CE=OC•tan60°求出即可．

解答：解：（1）直線CD與⊙O相切．
理由如下：連接OC．
∵OA=OC，
∴∠BAC=∠OCA，
∵∠BAC=∠CAM，
∴∠OCA=∠CAM，
∴OC∥AM，
∵CD⊥AM，
∴OC⊥CD，
∵OC為半徑，
∴直線CD與⊙O相切．

（2）∵OC=OA，
∴∠BAC=∠ACO，
∵∠CAB=30°，
∴∠COE=2∠CAB=60°，
∴在Rt△COE中，OC=3，CE=OC•tan60°=3

3

．

點評：本題考查了切線的判定，等腰三角形的性質和判定，平行線性質，銳角三角函數的定義，三角形外角性質的應用，主要考查學生運用定理進行推理和計算的能力．