Question

如圖，M是正方形ABCD邊AD上動點、以BM為對角線作正方形BGMN．
（1）當點M與A重合時，直接寫出△BNC與△BMD之間的面積關系．
（2）當點M不與A重合時，猜想△BNC與△BMD之間的面積關系，并證明你的猜想．
（3）當點M在運動時，是否有一點使S_{正方形BGMN}=4S_△BNC成立？若成立，請求出∠ABM的大小；若不成立，請說明理由．

Answer 1

分析：（1）根據A與M重合，利用正方形的性質，對角線垂直且平分，即可得出△BNC與△BMD的大小關系；
（2）根據正方形的性質得出∠MBD=∠DBN，進而求出

BN

BM

=

2

2

，

BC

BD

=

2

2

，得出△BNC∽△BMD，再利用相似三角形的面積比等于相似比的平方求出即可；
（3）利用當S_{正方形BGMN}=4S_△BNC，可得S_△BMN=S_△BMD，再利用△BNC∽△BMD，得出∠BCN=∠MDB=45°，進而利用兩邊且夾角相等得出△BNC≌△DNC，再求出∠MBD=∠BDN=∠NBD得出答案．

解答：解：（1）

S△BNC

S△BMD

=

1

2

；

（2）猜想

S△BNC

S△BMD

=

1

2

；
證明：∵BM，BD都是正方形的角平分線，
∴∠MBN=∠DBC=45°，
∴∠MBD+∠DBN=45°，∠DBN+NBC=45°，
∴∠MBD=∠DBN，
∵

BN

BM

=

2

2

，

BC

BD

=

2

2

，
∴

BN

BM

=

BC

BD

，
∴△BNC∽△BMD，
∴

S△BNC

S△BMD

=（

2

2

）²=

1

2

；

（3）連接DN，
當S_{正方形BGMN}=4S_△BNC，
∵

S△BNC

S△BMD

=

1

2

；
∴可得S_△BMN=S_△BMD，
∴BM∥DN，
∴∠MBD=∠BDN，
∵△BNC∽△BMD，
∴∠BCN=∠MDB=45°，
∵NC=NC，BC=DC，
即

NC=CN ∠BCN=∠NCD=45° BC=DC

∴△BNC≌△DNC，（SAS）
∴BN=DN，
∴∠NBD=∠BDN，
∴∠MBD=∠BDN=∠NBD=22.5°，
∠ABM=22.5°．

點評：此題主要考查了相似三角形的判定與性質和正方形的性質以及全等三角形的判定等知識，根據正方形的性質得出∠BCN=∠MDB=45°，以及得出DN∥BM是解題關鍵．