Question

【題目】已知拋物線的解析式為，（與軸交于點（點在點左側），與軸交于點，項點為．

（1）求點的坐標；

（2）若將拋物線沿著直線的方向平移得到拋物線；

①當拋物線與直線只有一個公共點時，求拋物線的解析式；

②點是①中拋物線上一點，若且為整數，求滿足條件的點的個數．

Answer 1

【答案】（1）點，點，點，點；（2）①，②滿足條件的點有個．

【解析】

（1）令y=0求出x，可得點A、B的坐標；令x=0求出y，可得點D的坐標；將二次函數的解析式化為頂點式即可得點P的坐標；

（2）①先求出直線PD的解析式，由拋物線的頂點在直線PD上移動可設出拋物線的頂點式，根據拋物線與直線只有一個公共點，利用可求得拋物線的頂點坐標，即可求得其解析式；

②先求出當、時的取值，根據二次函數的頂點式及其圖象性質可分別求得當、時的取值范圍，進而得出的整數值，即可求出滿足條件的點的個數．

解：（1）取，即

解得：

則點，點

取，得

則點

又

則點

（2）①設直線的解析式為

點，點

解得

直線的解析式為，

拋物線沿著直線 的方向平移得到拋物線

平移后的頂點坐標為

設平移后解析式為

又拋物線與直線只有一個公共點

令

整理得：

則，即

解得

平移后所得拋物線的解析式為

即

②的頂點為

∵當時，時

∴當時，

則有個整數

當時，

則有個整數

拋物線是連續的，所以可以取到當時的函數值的所有整數，

故滿足條件的點有個．