Question

【題目】定義：P、Q分別是兩條線段a和b上任意一點，線段PQ長度的最小值叫做線段與線段的距離．已知O（0，0），A（4，0），B（m，n），C（m+4，n）是平面直角系中四點．

（1）根據上述定義，當m=2，n=3時，如圖1，線段BC與線段OA的距離是　　，當m=5，n=3時，如圖2，線段BC與線段OA的距離（即線段AB的長）為　　．

（2）如圖3，若點B落在圓心為A，半徑為2的圓上，線段BC與線段OA的距離記為d，求d關于m的函數解析式．

（3）當m的值變化時，動線段BC與線段OA的距離始終為2，線段BC的中點為M．點D的坐標為（0，2），m≥0，n≥0，作MH⊥x軸，垂足為H，是否存在m的值，使以A、M、H為頂點的三角形與△AOD相似？若存在，求出m的值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）3，；（2）d=；（3）存在m的值使以A、M、H為頂點的三角形與△AOD相似，m的取值為：1、3或．

【解析】

（1）理解新定義，按照新定義的要求求出兩個距離值；
（2）如答圖2所示，當點B落在⊙A上時，m的取值范圍為2≤m≤6：
當4≤m≤6，顯然線段BC與線段OA的距離等于⊙A半徑，即d=2；
當2≤m<4時，作BN⊥x軸于點N，線段BC與線段OA的距離等于BN長；
（3）如答圖4所示，符合題意的相似三角形有三個，需要進行分類討論，分別利用點的坐標關系以及相似三角形比例線段關系求出m的值．

（1）當m=2，n=3時，

如題圖1，線段BC與線段OA的距離（即平行線BC與OA之間的距離）=3；

當m=5，n=3時，

B點坐標為（5，3），線段BC與線段OA的距離，即為線段AB的長，

如答圖1，過點B作BN⊥x軸于點N，則AN=1，BN=3，

在Rt△ABN中，由勾股定理得：AB===．

故答案為3，

（2）如答圖2所示，當點B落在⊙A上時，m的取值范圍為2≤m≤6：

當4≤m≤6，顯然線段BC與線段OA的距離等于⊙A半徑，即d=2；

當2≤m＜4時，作BN⊥x軸于點N，線段BC與線段OA的距離等于BN長，

ON=m，AN=OA﹣ON=4﹣m，在Rt△ABN中，由勾股定理得：

∴d==．

（3）①依題意畫出圖形，點M的運動軌跡如答圖3中粗體實線所示：

由圖可見，封閉圖形由上下兩段長度為8的線段，以及左右兩側半徑為2的半圓所組成，

其周長為：2×8+2×π×2=16+4π，

∴點M隨線段BC運動所圍成的封閉圖形的周長為：16+4π．

②結論：存在．

∵m≥0，n≥0，∴點M位于第一象限．

∵A（4，0），D（0，2），∴OA=2OD．

如答圖4所示，相似三角形有三種情形：

（I）△AM1H1，此時點M縱坐標為2，點H在A點左側．

如圖，OH1=m+2，M1H1=2，AH1=OA﹣OH1=2﹣m，

由相似關系可知，M1H1=2AH1，即2=2（2﹣m），

∴m=1；

（II）△AM2H2，此時點M縱坐標為2，點H在A點右側．

如圖，OH2=m+2，M2H2=2，AH2=OH2﹣OA=m﹣2，

由相似關系可知，M2H2=2AH2，即2=2（m﹣2），

∴m=3；

（III）△AM3H3，此時點B落在⊙A上．

如圖，OH3=m+2，AH3=OH3﹣OA=m﹣2，

過點B作BN⊥x軸于點N，則BN=M3H3=n，AN=m﹣4，

由相似關系可知，AH3=2M3H3，即m﹣2=2n （1）

在Rt△ABN中，由勾股定理得：22=（m﹣4）2+n2 （2）

由（1）、（2）式解得：m1=，m2=2，

當m=2時，點M與點A橫坐標相同，點H與點A重合，故舍去，

∴m=．

綜上所述，存在m的值使以A、M、H為頂點的三角形與△AOD相似，m的取值為：1、3或．