Question

如圖，AB是⊙O的直徑，點C在⊙O上，D是AB延長線上的一點，AE⊥DC交DC的延長線于E，AC平分∠DAE．

（1）直線DE與⊙O有怎樣的位置關系？為什么？

（2）若AC=，⊙O的半徑為1，求CD的長及由弧BC、線段BD、CD所圍成的陰影部分的面積．

 

Answer 1

【答案】

（1）直線DE與⊙O相切，理由見解析；（2），.

【解析】

試題分析：（1）連接OC，證明∠OCD=90°，從而判斷CD與⊙O相切．易證∠COD=60°，所以∠OCD=90°，從而得證；

（2）利用“切割法”解答，即S陰影=S△OCD-S扇形OCB．

試題解析：（1）CD是⊙O的切線．理由如下：

∵DC=AC，∠CAB=30°，

∴∠CAD=∠CDA=30°（等邊對等角）．

連接OC．

∴∠COB=60°，即∠COD=60°（在同圓中，同弧所對的圓周角是所對的圓心角的一半）．

在△COD中，∠CDO=30°，∠COD=60°，

∴∠DCO=90°．

又∵點C在⊙O上，

∴CD是⊙O的切線，即直線CD與⊙O相切；

（2）連接BC．

∵AB是⊙O的直徑，

∴∠ACB=90°（直徑所對的圓周角是直角）．

∵∠CAB=30°，

∴∠COD=2∠CAB=60°，OC=AB=1，

∴在Rt△OCD中，CD=OC×tan60°=，

∴S陰影=S△OCD-S扇形OCB=×1×-= ．

考點: 1.切線的判定；2.扇形面積的計算.