Question

【題目】在△ABC中，∠ABC=90°．

（1）如圖1，分別過A、C兩點作經過點B的直線的垂線，垂足分別為M、N，求證：△ABM∽△BCN；

（2）如圖2，P是邊BC上一點，∠BAP=∠C，tan∠PAC=，求tanC的值；

（3）如圖3，D是邊CA延長線上一點，AE=AB，∠DEB=90°，sin∠BAC=，，直接寫出tan∠CEB的值．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）；（3）.

【解析】（1）利用同角的余角相等判斷出∠BAM=∠CBN，即可得出結論；

（2）如圖，過點P作PF⊥AP交AC于F，先判斷出△ABP∽△PQF，得出，再判斷出△ABP∽△CQF，得出CQ=2a，進而建立方程用b表示出a，即可得出結論；

（3）先判斷出，再同（2）的方法，即可得出結論．

（1）∵AM⊥MN，CN⊥MN，

∴∠AMB=∠BNC=90°，

∴∠BAM+∠ABM=90°，

∵∠ABC=90°，

∴∠ABM+∠CBN=90°，

∴∠BAM=∠CBN，

∵∠AMB=∠NBC，

∴△ABM∽△BCN；

（2）如圖，過點P作PF⊥AP交AC于F，

在Rt△AFP中，tan∠PAC=，

同（1）的方法得，△ABP∽△PQF，

∴，

設AB=a，PQ=2a，BP=b，FQ=2b（a＞0，b＞0），

∵∠BAP=∠C，∠B=∠CQF=90°，

∴△ABP∽△CQF，

∴，∴CQ==2a，

∵BC=BP+PQ+CQ=b+2a+2a=4a+b，

∵∠BAP=∠C，∠B=∠B=90°，

∴△ABP∽△CBA，

∴，

∴BC=，

∴4a+b=，

∴a=b，

∴BC=4×b+b=b，AB=a=b，

在Rt△ABC中，tanC=；

（3）在Rt△ABC中，sin∠BAC=，

如圖，過點A作AG⊥BE于G，過點C作CH⊥BE交EB的延長線于H，

∵∠DEB=90°，

∴CH∥AG∥DE，

∴，

同（1）的方法得，△ABG∽△BCH，

∴=，

設BG=4m，CH=3m，AG=4n，BH=3n，

∵AB=AE，AG⊥BE，

∴EG=BG=4m，

∴GH=BG+BH=4m+3n，

∴，

∴n=2m，

∴EH=EG+GH=4m+4m+3n=8m+3n=8m+6m=14m，

在Rt△CEH中，tan∠BEC=．