Question

【題目】如圖，以BC為底邊的等腰△ABC，點D，E，G分別在BC，AB，AC上，且EG∥BC，DE∥AC，延長GE至點F，使得BE=BF．

（1）求證：四邊形BDEF為平行四邊形；

（2）當∠C=45°，BD=2時，求D，F兩點間的距離．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）．

【解析】試題分析：（1）由等腰三角形的性質得出∠ABC=∠C，證出∠AEG=∠ABC=∠C，四邊形CDEG是平行四邊形，得出∠DEG=∠C，證出∠F=∠DEG，得出BF∥DE，即可得出結論；

（2）證出△BDE、△BEF是等腰直角三角形，由勾股定理得出BF的值，作FM⊥BD于M，連接DF，則△BFM是等腰直角三角形，由勾股定理得出FM的值，進而得出DM=3，在Rt△DFM中，由勾股定理求出DF即可．

試題解析：（1）證明：∵△ABC是等腰三角形，∴∠ABC=∠C，∵EG∥BC，DE∥AC，∴∠AEG=∠ABC=∠C，四邊形CDEG是平行四邊形，∴∠DEG=∠C，∵BE=BF，∴∠BFE=∠BEF=∠AEG=∠ABC，∴∠F=∠DEG，∴BF∥DE，∴四邊形BDEF為平行四邊形；

（2）解：∵∠C=45°，∴∠ABC=∠BFE=∠BEF=45°，∴△BDE、△BEF是等腰直角三角形，∴BF=BE= BD=，作FM⊥BD于M，連接DF，如圖所示：

則△BFM是等腰直角三角形，∴FM=BM=BF=1，∴DM=3，在Rt△DFM中，由勾股定理得：DF= =，即D，F兩點間的距離為．