Question

【題目】已知：如圖，在矩形ABCD中，M、N分別是AD、BC的中點(diǎn)，P、Q分別是BM、DN的中點(diǎn)．

（1）求證：BM∥DN；

（2）求證：四邊形MPNQ是菱形；

（3）矩形ABCD的邊長AB與AD滿足什么數(shù)量關(guān)系時(shí)四邊形MPNQ為正方形，請(qǐng)說明理由．

Answer 1

【答案】（1）詳見解析；（2）詳見解析；（3）當(dāng)AB＝AD時(shí)，四邊形MPNQ為正方形，理由詳見解析.

【解析】

（1）因?yàn)?/span>M，N分別是AD，BC的中點(diǎn)，由矩形的性質(zhì)可得DM＝BN，DM∥BN，利用平行四邊形的判定和性質(zhì)可得結(jié)論；

（2）由四邊形DMBN是平行四邊形，求出BM＝DN，BM∥DN，求出三角形MPNQ是平行四邊形，根據(jù)直角三角形斜邊上中線性質(zhì)求出MQ＝NQ，根據(jù)菱形判定推出即可．

（3）根據(jù)正方形的性質(zhì)進(jìn)行解答即可．

證明：（1）∵四邊形ABCD是矩形，

∴AD∥BC，AD＝BC，

∵M、N分別AD、BC的中點(diǎn)，

∴DM＝BN，

∴四邊形DMBN是平行四邊形；

∴BM∥DN；

（2）∵四邊形DMBN是平行四邊形，

∴BM＝DN，BM∥DN，

∵P、Q分別BM、DN的中點(diǎn)，

∴MP＝NQ，MP∥NQ，

∴四邊形MPNC是平行四邊形，

連接MN，

∵四邊形ABCD是矩形，

∴AD∥BC，AD＝BC，

∵M、N分別AD、BC的中點(diǎn)，

∴DM＝CN，

∴四邊形DMNC是矩形，

∴∠DMN＝∠C＝90°，

∵Q是DN中點(diǎn)，

∴MQ＝NQ，

∴四邊形MPNQ是菱形．

（3）當(dāng)AB＝AD時(shí)，四邊形MPNQ為正方形，

理由：∵AB＝AD，

∴AB＝AM，

∴矩形ABNM是正方形，

∵P為正方形ABNM對(duì)角線BM的中點(diǎn)，

∴∠NPM＝90°，

∵四邊形MPNQ是菱形，

∴四邊形MPNQ是正方形．