Question

【題目】如圖，已知AB=12，點C，D在AB上，且AC=DB=2，點P從點C沿線段CD向點D運動（運動到點D停止），以AP、BP為斜邊在AB的同側畫等腰Rt△APE和等腰Rt△PBF，連接EF，取EF的中點G，①△EFP的外接圓的圓心為點G；②四邊形AEFB的面積不變；③EF的中點G移動的路徑長為4；④△EFP的面積的最小值為8．以上說法中正確的有_____．

Answer 1

【答案】①③

【解析】試題解析：如圖

，

分別延長AE、BF交于點H．

∵等腰Rt△APE和等腰Rt△PBF，

∴∠A=∠FPB=45°，∠B=∠EPA=45°，

∴AH∥PF，BH∥PE，∠EPF=180°-∠EPA-∠FPB=90°，

∴四邊形EPFH為平行四邊形，

∴EF與HP互相平分．

∵G為EF的中點，

∴G也為PH中點，

即在P的運動過程中，G始終為PH的中點，

∴G的運行軌跡為△HCD的中位線MN．

∵CD=12-2-2=8，

∴MN=4，即G的移動路徑長為4．

故③EF的中點G移動的路徑長為4，正確；

∵G為EF的中點，∠EPF=90°，

∴①△EFP的外接圓的圓心為點G，正確．

∴①③正確．

∵點P從點C沿線段CD向點D運動（運動到點D停止），易證∠EPF=90°，所以四邊形面積便是三個直角三角形的面積和，設cp=x，則四邊形面積S=，

∴AP不斷增大，

∴四邊形的面積S也會隨之變化，故②錯誤．

④等腰Rt△APE和等腰Rt△PBF，

∠EPF=90°，

AP=PE，BP=PF，

當AP=AC=2時，即PE=，PF=5，

S△PEF最小=PEPF=5，故④錯誤．

故答案為：①③．