Question

【題目】如圖，在△ABC中，AB=BC，CD⊥AB于點D，CD=BD，BE平分∠ABC，點H是BC邊的中點，連接DH，交BE于點G，連接CG．

（1）求證：△ADC≌△FDB；

（2）求證：CE=BF；

（3）判斷△ECG的形狀，并證明你的結論；

（4）猜想BG與CE的數量關系，并證明你的結論．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）證明見解析；（3）△ECG為等腰直角三角形；（4）GB=CE．

【解析】

試題分析：（1）首先根據AB=BC，BE平分∠ABC，得到BE⊥AC，CE=AE，進一步得到∠ACD=∠DBF，結合CD=BD，即可證明出△ADC≌△FDB；

（2）由△ADC≌△FDB得到AC=BF，結合CE=AE，即可證明出結論；

（3）由點H是BC邊的中點，得到GH垂直平分BC，即GC=GB，由∠DBF=∠GBC=∠GCB=∠ECF，得∠ECO=45°，結合BE⊥AC，即可判斷出△ECG的形狀；

（4）由△ECG為等腰直角三角形，得到GC=CE，因為GC=GB，即可得到GB=CE．

試題解析：（1）∵AB=BC，BE平分∠ABC，∴BE⊥AC，CE=AE，∵CD⊥AB，∴∠ACD=∠DBF，在△ADC和△FDB中，∵∠ACD=∠DFB，CD=BD，∠ADC=∠BDF，∴△ADC≌△FDB（ASA）；

（2）∵△ADC≌△FDB，∴AC=BF，又∵CE=AE，∴CE=BF；

（3）△ECG為等腰直角三角形．∵點H是BC邊的中點，∴GH垂直平分BC，∴GC=GB，∵∠DBF=∠GBC=∠GCB=∠ECF，得∠ECG=45°，又∵BE⊥AC，∴△ECG為等腰直角三角形；

（4）GB=CE；

∵△ECG為等腰直角三角形，∴GC=CE，∵GC=GB，∴GB=CE．