Question

【題目】二次函數的圖象如圖，點位于坐標原點，點，，，…，在軸的正半軸上，點，，，…，在二次函數位于第一象限的圖象上，，，，…，都是直角頂點在拋物線上的等腰直角三角形，則的斜邊長為________．

Answer 1

【答案】4040

【解析】

如圖所示，過點B1，B2，B3分別作y軸的垂線，垂足分別為C，D，E，分別寫出直線A0B1、直線A1B2、直線A2B3的解析式，將它們分別與y=x2聯立，求得點B1，B2，B3的坐標，從而可得A0A1=2，A1A2=4，A2A3=6，發現規律后，按照規律即可求得的斜邊長．

解：如圖所示，過點B1，B2，B3分別作y軸的垂線，垂足分別為C，D，E

∵△A0B1A1，△A1B2A2，△A2B3A3…△A9B10A10都是直角頂點在拋物線上的等腰直角三角形

∴∠B1A0A1=∠B2A1A2=∠B3A2A3=45°

∴A0B1所在直線的解析式為：y=x

由，得B1（1，1）

∴A0A1=2B1C=2

∴A1（0，2）

∴直線A1B2為：y=x+2

由，得B2（2，4）

∴A1A2=2B2D=4

∴A2（0，6）

∴直線A2B3為：y=x+6

由，得B3（3，9）

∴A2A3=2B3E=6

…

由上面A0A1=2，A1A2=4，A2A3=6，可以看出這些直角頂點在拋物線上的等腰直角三角形的斜邊長依次加2

∴的斜邊長為2+2019×2=4040

故答案為：4040．