Question

【題目】如圖，拋物線與軸相交于、兩點，與軸相交于點，且點與點的坐標分別為，，點是拋物線的頂點．

（1）求二次函數的關系式．

（2）點為線段上一個動點，過點作軸于點．若，的面積為．

①求與的函數關系式，寫出自變量的取值范圍．

②當取得最值時，求點的坐標．

（3）在上是否存在點，使為直角三角形？如果存在，請直接寫出點的坐標；如果不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）；（2）①，；②P（，3）；

（3）或

【解析】

（1）將點B、C的坐標代入即可；

（2）①求出頂點坐標，直線MB的解析式等，由PD⊥x軸且OD=m知P（m，-2m+6），即可用含m的代數式表示出S；

②在和①的情況下，將S和m的關系式化為頂點式，由二次函數的圖象和性質即可寫出點P的坐標；

（3）分情況討論，當∠CPD=90°時，推出PD=CO=3，則點P的縱坐標為3，即可求出點P的坐標；當∠PCD=90°時，證∠PDC=∠OCD，由銳角三角函數可求出m的值，即可寫出點P的坐標；當∠PDC=90°時，不存在點P．

解：（1）將，代入，

得，

解得，

∴二次函數的解析式為；

（2）①∵

∴頂點M（1，4），

將直線BM的解析式設為，

將點，M（1，4）代入，

可得，

解得，

∴直線BM的解析式為，

如圖∵PD⊥x軸且OD=m，

∴P（m，-2m+6），

∴，

即，

∵點為線段上一個動點且，M（1，4），

∴；

②，

∴當時，S取最大值，

∴P（，3）；

（3）存在，理由如下：

如圖，當∠CPD=90°時，

,

∴四邊形CODP為矩形，

∵PD=CO=3,

將代入直線，

得，

∴P；

如圖，當∠PCD=90°時，

∵OC=3，OD=m，

，

,

,

,

,

，

解得（舍去），，

∴；

當∠PDC=90°時，

∵PD⊥x軸，

∴不存在點P；

綜上所述，點P的坐標為或．