Question

【題目】如圖，△ABC內接于⊙O，AC為⊙O的直徑，PB是⊙O的切線，B為切點，OP⊥BC，垂足為E，交⊙O于D，連接BD．

（1）求證：BD平分∠PBC；

（2）若⊙O的半徑為1，PD=3DE，求OE及AB的長．

Answer 1

【答案】（1）詳見解析；（2）.

【解析】

試題（1）由∠PBD+∠OBD=90°，∠DBE+∠BDO=90°利用等角的余角相等即可得∠PBD=∠EBD，所以∠PBD=∠EBD；（2）利用面積法首先證明==，再證明△BEO∽△PEB，得=，即==，由此即可解決問題．

試題解析：（1）證明：連接OB．

∵PB是⊙O切線，

∴OB⊥PB，

∴∠PBO=90°，

∴∠PBD+∠OBD=90°，

∵OB=OD，

∴∠OBD=∠ODB，

∵OP⊥BC，

∴∠BED=90°，

∴∠DBE+∠BDE=90°，

∴∠PBD=∠EBD，

∴BD平分∠PBC．

（2）解：作DK⊥PB于K，

∵==，

∵BD平分∠PBE，DE⊥BE，DK⊥PB，

∴DK=DE，

∴==，

∵∠OBE+∠PBE=90°，∠PBE+∠P=90°，

∴∠OBE=∠P，∵∠OEB=∠BEP=90°，

∴△BEO∽△PEB，

∴=，

∴==，

∵BO=1，

∴OE=，

∵OE⊥BC，

∴BE=EC，∵AO=OC，

∴AB=2OE=．