Question

【題目】如圖，邊長為6的等邊三角形ABC中，D是AB邊上的一動點，由A向B運動(A、B不重合)，F是BC延長線上的一動點，與D同時以相同的速度由C向BC延長線方向運動(與C不重合)，過點D作DE⊥AC，連接DF交AC于G．

(1)當點D運動到AB的中點時，直接寫出AE的長．

(2)當DF⊥AB時，求AD的長．

(3)在運動過程中線段GE的長是否發生變化？如果不變，求出線段GE的長：如果發生改變請說明理由．

Answer 1

【答案】（1） （2）2 （3）不變；3

【解析】

（1）由點D運動到AB的中點得到AD＝AB＝3，根據等邊三角形的性質可得：∠A＝60°，求得∠ADE＝30°，根據直角三角形的性質即可得到結論；

（2）由點E、F同時運動且速度相同得到AD＝CF，求出∠AGD＝∠CGF＝30°，∠F＝30°，進而得到CF＝CG＝AD，設AD＝CG＝CF＝x，則AG＝2x，列方程即可求解；

（3）作FQ⊥AC，交線段AC的延長線于點Q，連接FE，DQ，易知AD＝CF，根據等邊三角形的性質得到∠A＝∠ABC＝∠QCF＝60°，繼而推出△ADE≌△CFQ(AAS)，由AE＝CQ，DE＝QF且DE∥QF可得四邊形DEFQ是平行四邊形，繼而可知 GE＝EQ，推出GE＝AC，即可得到結論．

解：(1)點D運動到AB的中點時，

∵AD＝AB＝3，∠A＝60°，

∵DE⊥AC，

∴∠ADE＝30°，

∴AE＝AD＝；

(2)∵點D、F同時運動且速度相同，

∴AD＝CF，

∵DF⊥AB，∠A＝60°，

∴∠AGD＝∠CGF＝30°，

∵∠B＝60°，

∴∠F＝30°，

∴∠CGF＝∠F，

∴CF＝CG＝AD，

設AD＝CG＝CF＝x，則AG＝2x，

∴AG+CG＝2x+x＝3x＝6，

∴x＝2，

∴AD＝2；

(3)當點D、F同時運動且速度相同時，線段GE的長度不會改變．理由如下：

作FQ⊥AC，交線段AC的延長線于點Q，連接FE，DQ，

又∵DE⊥AB于E，

∴∠GQF＝∠AED＝90°，

∵點D、F速度相同，

∴AD＝CF，

∵△ABC是等邊三角形，

∴∠A＝∠ABC＝∠QCF＝60°，

在△ADE和△CFQ中，

∵∠AED＝∠CQF＝90°，

∴∠AED＝∠CQF，

在△ADE和△CQF中，

∴△ADE≌△CFQ(AAS)，

∴AE＝CQ，DE＝QF且DE∥QF，

∴四邊形DEFQ是平行四邊形，

∴GE＝EQ，

∵EC+AE＝CE+CQ＝AC，

∴GE＝AC，

又∵等邊△ABC的邊長為6，

∴GE＝3，

∴點D、F同時運動且速度相同時，線段GE的長度不會改變．