Question

【題目】如圖，已知Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD是斜邊AB上的中線，過點A作AE⊥CD，AE分別與CD、CB相交于點H、E，AH=2CH．

（1）求sinB的值；

（2）如果CD=，求BE的值．

Answer 1

【答案】（1）（2）3

【解析】

試題分析：（1）根據∠ACB=90°，CD是斜邊AB上的中線，可得出CD=BD，則∠B=∠BCD，再由AE⊥CD，可證明∠B=∠CAH，由AH=2CH，可得出CH：AC=1：，即可得出sinB的值；

（2）根據sinB的值，可得出AC：AB=1：，再由AB=2，得AC=2，則CE=1，從而得出BE．

解：（1）∵∠ACB=90°，CD是斜邊AB上的中線，

∴CD=BD，

∴∠B=∠BCD，

∵AE⊥CD，

∴∠CAH+∠ACH=90°，

又∠ACB=90°

∴∠BCD+∠ACH=90°

∴∠B=∠BCD=∠CAH，即∠B=∠CAH，

∵AH=2CH，

∴由勾股定理得AC=CH，

∴CH：AC=1：，

∴sinB=；

（2）∵sinB=，

∴AC：AB=1：，

∴AC=2．

∵∠CAH=∠B，

∴sin∠CAH=sinB==，

設CE=x（x＞0），則AE=x，則x2+22=（x）2，

∴CE=x=1，AC=2，

在Rt△ABC中，AC2+BC2=AB2，

∵AB=2CD=2，

∴BC=4，

∴BE=BC﹣CE=3．