Question

【題目】如圖1，已知菱形ABCD的邊長為2 ，點A在x軸負半軸上，點B在坐標原點．點D的坐標為（﹣ ，3），拋物線y=ax2+b（a≠0）經過AB、CD兩邊的中點．

（1）求這條拋物線的函數解析式；
（2）將菱形ABCD以每秒1個單位長度的速度沿x軸正方向勻速平移（如圖2），過點B作BE⊥CD于點E，交拋物線于點F，連接DF、AF．設菱形ABCD平移的時間為t秒（0＜t＜ ）
①是否存在這樣的t，使△ADF與△DEF相似？若存在，求出t的值；若不存在，請說明理由；
②連接FC，以點F為旋轉中心，將△FEC按順時針方向旋轉180°，得△FE′C′，當△FE′C′落在x軸與拋物線在x軸上方的部分圍成的圖形中（包括邊界）時，求t的取值范圍．（寫出答案即可）

Answer 1

【答案】
（1）

解：由題意得AB的中點坐標為（﹣ ，0），CD的中點坐標為（0，3），

分別代入y=ax2+b得

，

解得， ，

∴y=﹣x2+3

（2）

解：①如圖2所示，

在Rt△BCE中，∠BEC=90°，BE=3，BC=2

∴sinC= = = ，∴∠C=60°，∠CBE=30°

∴EC= BC= ，DE=

又∵AD∥BC，∴∠ADC+∠C=180°

∴∠ADC=180°﹣60°=120°

要使△ADF與△DEF相似，則△ADF中必有一個角為直角．

（i）若∠ADF=90°

∠EDF=120°﹣90°=30°

在Rt△DEF中，DE= ，求得EF=1，DF=2．

又∵E（t，3），F（t，﹣t2+3），∴EF=3﹣（﹣t2+3）=t2

∴t2=1，∵t＞0，∴t=1

此時 =2， ，

∴ ，

又∵∠ADF=∠DEF

∴△ADF∽△DEF

（ii）若∠DFA=90°，

可證得△DEF∽△FBA，則

設EF=m，則FB=3﹣m

∴ ，即m2﹣3m+6=0，此方程無實數根．

∴此時t不存在；

（iii）由題意得，∠DAF＜∠DAB=60°

∴∠DAF≠90°，此時t不存在．

綜上所述，存在t=1，使△ADF與△DEF相似；

②如圖3所示，依題意作出旋轉后的三角形△FE′C′，過C′作MN⊥x軸，分別交拋物線、x軸于點M、點N．

觀察圖形可知，欲使△FE′C′落在指定區域內，必須滿足：EE′≤BE且MN≥C′N．

∵F（t，3﹣t2），∴EF=3﹣（3﹣t2）=t2，∴EE′=2EF=2t2，

由EE′≤BE，得2t2≤3，解得t≤ ．

∵C′E′=CE= ，∴C′點的橫坐標為t﹣ ，

∴MN=3﹣（t﹣ ）2，又C′N=BE′=BE﹣EE′=3﹣2t2，

由MN≥C′N，得3﹣（t﹣ ）2≥3﹣2t2，解得t≥ 或t≤﹣ ﹣3（舍）．

∴t的取值范圍為： ．

【解析】（1）根據已知條件求出AB和CD的中點坐標，然后利用待定系數法求該二次函數的解析式；（2）本問是難點所在，需要認真全面地分析解答：
①如圖2所示，△ADF與△DEF相似，包括三種情況，需要分類討論：（I）若∠ADF=90°時，△ADF∽△DEF，求此時t的值；（II）若∠DFA=90°時，△DEF∽△FBA，利用相似三角形的對應邊成比例可以求得相應的t的值；（III）∠DAF≠90°，此時t不存在；②如圖3所示，畫出旋轉后的圖形，認真分析滿足題意要求時，需要具備什么樣的限制條件，然后根據限制條件列出不等式，求出t的取值范圍．確定限制條件是解題的關鍵．
【考點精析】掌握二次函數的性質是解答本題的根本，需要知道增減性：當a>0時，對稱軸左邊，y隨x增大而減小；對稱軸右邊，y隨x增大而增大；當a<0時，對稱軸左邊，y隨x增大而增大；對稱軸右邊，y隨x增大而減小．