Question

把拋物線l₁：y=-x²向右平移1個(gè)單位長(zhǎng)度，再向上平移4個(gè)單位長(zhǎng)度，得到拋物線l₂．如圖，點(diǎn)A、B分別是拋物線l₂與x軸的交點(diǎn)，點(diǎn)C是拋物線l₂與y軸的交點(diǎn)．
（1）直接寫出拋物線l₂的解析式及其對(duì)稱軸；
（2）在拋物線l₂的對(duì)稱軸上求一點(diǎn)P，使得△PAC的周長(zhǎng)最小．請(qǐng)?jiān)趫D中畫出點(diǎn)P的位置，并求點(diǎn)P的坐標(biāo)；
（3）若點(diǎn)D是拋物線l₂上的一動(dòng)點(diǎn)，且點(diǎn)D在第一象限內(nèi)，過點(diǎn)D作DE⊥x軸，垂足為E，DE與直線BC交于點(diǎn)F．設(shè)D點(diǎn)的橫坐標(biāo)為t．試探究：
①四邊形DCEB能否為平行四邊形？若能，請(qǐng)直接寫出點(diǎn)D的坐標(biāo)；若不能，請(qǐng)簡(jiǎn)要說明理由；
②四邊形CEBCD能否為梯形？若能，請(qǐng)求出符合條件的D點(diǎn)坐標(biāo)；若不能，請(qǐng)說明理由．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)二次函數(shù)圖象“左加右減，上加下減”的平移規(guī)律即可得到l₂的解析式和對(duì)稱軸；
（2）連接BC，交對(duì)稱軸于點(diǎn)P，連接AP、AC．點(diǎn)A關(guān)于對(duì)稱軸x=1的對(duì)稱點(diǎn)是點(diǎn)B（3，0），由幾何知識(shí)可知，PA+PC=PB+PC為最小，依此求點(diǎn)P的坐標(biāo)；
（3）①反證法推出矛盾的結(jié)論，得出四邊形DCEB不能為平行四邊形；
②分情況1：若CD∥BE；情況2：若CE∥BD兩種情況討論求得四邊形CEBCD為梯形時(shí)符合條件的D點(diǎn)坐標(biāo)．

解答：解：（1）l₂：y=-（x-1）²+4，對(duì)稱軸為直線x=1；（3分）

（2）如圖1，連接BC，交對(duì)稱軸于點(diǎn)P，連接AP、AC．（4分）
∵AC長(zhǎng)為定值，
∴要使△PAC的周長(zhǎng)最小，只需PA+PC最小．
∵點(diǎn)A關(guān)于對(duì)稱軸x=1的對(duì)稱點(diǎn)是點(diǎn)B（3，0），拋物線y=-x²+2x+3與y軸交點(diǎn)C的坐標(biāo)為（0，3）．
∴由幾何知識(shí)可知，PA+PC=PB+PC為最小．（5分）
設(shè)直線BC的解析式為y=kx+3，將B（3，0）代入3k+3=0，得k=-1．
∴y=-x+3（6分）
∴當(dāng)x=1時(shí)，y=2．
∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為（1，2）．（7分）

（3）①四邊形DCEB不能為平行四邊形．（8分）
若四邊形DCEB為平行四邊形，則EF=DF，CF=BF．
∵DE⊥x軸，
∴DE∥y軸．
∴

OE

EB

=

CF

BF

=1，
即OE=BE=1.5
當(dāng)x_F=1.5時(shí)，y_F=-1.5+3=1.5，
即EF=1.5．
當(dāng)x_D=1.5時(shí)，y_D=-（1.5-1）²+4=3.75，即DE=3.75．
∴DF=DE-EF=3.75-1.5=2.25＞1.5．
即DF＞EF，這與EF=DF相矛盾．
∴四邊形DCEB不能為平行四邊形．（10分）
②四邊形DCEB能為梯形．
情況1：若CD∥BE，則y_C=y_D=3．
當(dāng)y_D=3時(shí)，解得x_D=2，易得OE=2，BE=1．
∴CD≠BE．（11分）
∴當(dāng)CD∥BE時(shí)，四邊形DCEB為梯形．
∴當(dāng)D的坐標(biāo)為（2，3）時(shí)，四邊形DCEB為梯形．（12分）
情況2：若CE∥BD，由①易得CD與BE不平行．即當(dāng)CE∥BD時(shí)，四邊形DCEB為梯形．
依題意得：OE=t，BE=3-t，DE=-t²+2t+3．
∵DE∥y軸，D點(diǎn)的橫坐標(biāo)為t，
∴F點(diǎn)的橫坐標(biāo)為t．
∵CE∥BD，
∴∠CEO=∠DBE．
∴tan∠CEO=tan∠DBE，
∴

OC

OE

=

DE

BE

，即

3

t

=

-(t-3)(t+1)

3-t

，
整理得：t²+t=3．（13分）
解得：t1=

13 -1

2

，t2=

- 13 -1

2

（不合題意，舍去）．
當(dāng)t=

13 -1

2

時(shí)，
解得y_D=-(

13 -1

2

-1)2+4=

3 13 -3

2

．
∴當(dāng)D的坐標(biāo)為（

13 -1

2

，

3 13 -3

2

）時(shí)，四邊形DCEB為梯形．（14分）
綜上，當(dāng)D的坐標(biāo)為（2，3）或（

13 -1

2

，

3 13 -3

2

）時(shí)，四邊形DCEB為梯形．
注：此題有多種解法，其他解法（或?qū)懛ǎ┛蓞⒄找陨系脑u(píng)分標(biāo)準(zhǔn)給分．

點(diǎn)評(píng)：此題主要考查了二次函數(shù)圖象的平移、軸對(duì)稱的性質(zhì)、平行四邊形及梯形的判定、圖形周長(zhǎng)的求法等等知識(shí)的綜合應(yīng)用能力．