Question

如圖，把拋物線y=-x²（虛線部分）向右平移1個單位長度，再向上平移1個單位長度，得出拋物線l₁，拋物線l₂與拋物線l₁關于y軸對稱．點A，O，B分別是拋物線l₁，l₂與x軸的交點，D，C分別是拋物線l₁，l₂的頂點，線段CD交y軸于點E．
（1）分別寫出拋物線l₁與l₂的解析式；
（2）設P使拋物線l₁上與D，O兩點不重合的任意一點，Q點是P點關于y軸的對稱點，試判斷以P，Q，C，D為頂點的四邊形是什么特殊的四邊形？請說明理由．
（3）在拋物線l₁上是否存在點M，使得S_△ABM=S_{四邊形AOED}？如果存在，求出M點的坐標；如果不存在，請說明理由．

Answer 1

分析：（1）根據二次函數圖象“左加右減，上加下減”的平移規律即可得到l₁的解析式；
由于l₁、l₂關于y軸對稱，那它們的頂點坐標關于y軸對稱，而開口大小、開口方向、與y軸的交點都相同，據此可求出l₂的解析式；
（2）根據軸對稱的性質，很明顯的可以看出四邊形PQCD是等腰梯形；若P為l₁的對稱軸與拋物線l₂的交點時，PQ=CD，此時四邊形PQCD是矩形；
（3）根據拋物線l₁的解析式，可求出A、D、E的坐標，進而可求得梯形AOED的面積，即可得到△ABM的面積，由于AB是定長，那么根據△ABM的面積即可求出M點縱坐標的絕對值，將其代入拋物線l₁的解析式中，即可求得M點的坐標．

解答：解：（1）l₁：y=-（x-1）²+1（或y=-x²+2x），（1分）
l₂：y=-（x+1）²+1（或y=-x²-2x）；（2分）

（2）以P，Q，C，D為頂點的四邊形為矩形或等腰梯形，（3分）
理由：∵點C與點D，點P與點Q關于y軸對稱，
∴CD∥PQ∥x軸．
①當P點是l₂的對稱軸與l₁的交點時，點P，Q的坐標分別為（-1，-3）和（1，-3），而點C，D的坐標分別為（-1，1）和（1，1），
所以，CD=PQ，CP⊥CD，四邊形CPQD是矩形；（4分）
②當P點不是l₂的對稱軸與l₁的交點時，根據軸對稱性質，
有：CP=DQ（或CQ=DPS），但CD≠PQ，
∴四邊形CPQD（四邊形CQPD）是等腰梯形．（5分）

（3）存在，設滿足條件的M點坐標為（x，y），連接MA，MB，AD，依題意得：
A（2，0），B（-2，0），E（0，1），
S梯形AOED=

(1+2)×1

2

=

3

2

，（6分）
①當y＞0時，S△ABM=

1

2

×4×y=

3

2

∴y=

3

4

，（7分）
將y=

3

4

代入l1的解析式，解得：x1=

3

2

，x2=

1

2

，
∴M1(

3

2

，

3

4

)，M2(

1

2

，

3

4

)，（8分）
②當y＜0時，S△ABM=

1

2

×4×(-y)=

3

2

∴y=-

3

4

，（9分）
將y=-

3

4

代入l1的解析式，解得x=1±

7

2

，
∴M3(

2+ 7

2

，-

3

4

)，M4(

2- 7

2

，-

3

4

)． （10分）

點評：此題主要考查了二次函數圖象的平移、軸對稱的性質、等腰梯形及矩形的判定、圖形面積的求法等知識的綜合應用能力．