Question

（2013•沙灣區模擬）如圖，△ABC的外接⊙O的半徑為R，高為AD，∠BAC的平分線交⊙O、BC于E、P，EF切⊙O交AC的延長線于F．
下列結論：①AC•AB=2R•AD；②EF∥BC；③CF•AC=EF•CP；④

CP

BP

=

SinB

SinF

．
請你把正確結論的番號都寫上

①②③④

．（填錯一個該題得0分）

Answer 1

分析：（1）過A作直徑AN，利用直角△ACN∽直角△ADB，可得①；
（2）連接OE，由角平分線可得弧相等，即E為BC弧的中點，則OE與BC垂直，而EF是切線即EF⊥BC，得②；（3）連CE，證明△FCE∽△CMA，可得③；
（4）先把正弦化成線段的比，得到

CM

AM

=

AC

BC

而這是角平分線定理，所以得④．

解答：解：（1）過A作直徑AN，連CN．則∠ACN=90°，
∵AD⊥BC，
∴∠ADB=90°，
又∵∠ANC=∠B，
∴直角△ACN∽直角△ADB，而AN=2R，
∴AC•AB=2R•AD；

（2）連接OE，
∵∠BAC的平分線交⊙O于E，
∴弧CE=弧BE，∴OE⊥BC，
又∵FE是⊙O的切線，
∴FE⊥OE，
∴EF∥BC；

（3）連CE，
∵EF∥BC，
∴∠1=∠F，∠FEC=∠ECM，
又∵∠ECM=∠EAB=∠CAM，
∴△FCE∽△CMA，
∴CF•AC=EF•CM；

（4）在直角三角形ADB中，sinB=

AD

BD

，
在直角三角形ADC中，sin∠ACD=

AD

DC

，而EF∥BC，∠ACD=∠F，即sinF=

AD

AC

，
∴

AC

BC

=

SinB

SinF

，而AM為角平分線，所以

CM

AM

=

AC

BC

，
∴

CP

BP

=

SinB

SinF

，
∴①②③④都正確，
故答案為①②③④．

點評：本題考查了相似三角形的判定和性質，解題的關鍵是掌握使用三角形相似證明等積式或比例式．熟悉圓周角定理，角平分線定理，三角函數的定義以及切線的性質等．