Question

【題目】（操作發現】

在計算器上輸入一個正數，不斷地按“”鍵求算術平方根，運算結果越來越接近1或都等于1．

【提出問題】

輸入一個實數，不斷地進行“乘以常數k，再加上常數b”的運算，有什么規律？

【分析問題】

我們可用框圖表示這種運算過程（如圖a）．

也可用圖象描述：如圖1，在x軸上表示出x1，先在直線y=kx+b上確定點（x1，y1），再在直線y=x上確定縱坐標為y1的點（x2，y1），然后再x軸上確定對應的數x2，…，以此類推．

【解決問題】

研究輸入實數x1時，隨著運算次數n的不斷增加，運算結果x，怎樣變化．

（1）若k=2，b=﹣4，得到什么結論？可以輸入特殊的數如3，4，5進行觀察研究；

（2）若k＞1，又得到什么結論？請說明理由；

（3）①若，b=2，已在x軸上表示出x1（如圖2所示），請在x軸上表示x2，x3，x4，并寫出研究結論；

②若輸入實數x1時，運算結果xn互不相等，且越來越接近常數m，直接寫出k的取值范圍及m的值（用含k，b的代數式表示）

Answer 1

【答案】（1）當x1＜4時，隨著運算次數n的增加，運算結果xn越來越小；當x1=4時，隨著運算次數n的增加，運算結果xn的值保持不變，都等于4；當x1＞4時，隨著運算次數n的增加，運算結果xn越來越大

；（2）當x1＞時，隨著運算次數n的增加，xn越來越大；當x1＜時，隨著運算次數n的增加，xn越來越小；當x1=時，隨著運算次數n的增加，xn保持不變；（3）①隨著運算次數的增加，運算結果越來越接近；②﹣1＜k＜1且k≠0，m=．

【解析】

試題分析：（1）分x1＜4，x1=4，x1＞4三種情形解答即可．

（2）分x1＞，x1＜，x1=三種情形解答即可．

（3）①如圖2中，畫出圖形，根據圖象即可解決問題，xn的值越來越接近兩直線交點的橫坐標．

②根據前面的探究即可解決問題．

試題解析：（1）若k=2，b=﹣4，y=2x﹣4，取x1=3，則x2=2，x3=0，x4=﹣4，…

取x1=4，則x2x3=x4=4，…

取x1=5，則x2=6，x3=8，x4=12，…由此發現：

當x1＜4時，隨著運算次數n的增加，運算結果xn越來越小．

當x1=4時，隨著運算次數n的增加，運算結果xn的值保持不變，都等于4．

當x1＞4時，隨著運算次數n的增加，運算結果xn越來越大．

（2）當x1＞時，隨著運算次數n的增加，xn越來越大．

當x1＜時，隨著運算次數n的增加，xn越來越小．

當x1=時，隨著運算次數n的增加，xn保持不變．

理由：如圖1中，直線y=kx+b與直線y=x的交點坐標為（，），當x1＞時，對于同一個x的值，kx+b＞x，∴y1＞x1

∵y1=x2，∴x1＜x2，同理x2＜x3＜…＜xn，∴當x1＞時，隨著運算次數n的增加，xn越來越大．

同理，當x1＜時，隨著運算次數n的增加，xn越來越小．

當x1=時，隨著運算次數n的增加，xn保持不變．

（3）①在數軸上表示的x1，x2，x3如圖2所示．

隨著運算次數的增加，運算結果越來越接近．

②由（2）可知：﹣1＜k＜1且k≠0，由消去y得到x=，∴由①探究可知：m=．