Question

【題目】問題發現：

如圖1，△ACB和△DCE均為等邊三角形，點A、D、E在同一直線上，連接BE．

（1）求證：△ACD≌△BCE；

（2）求證：CD∥BE．

拓展探究：

如圖2，△ACB和△DCE均為等腰直角三角形，∠ACB＝∠DCE＝90°，點A、D、E在同一直線上，連接BE，求∠AEB的度數．

Answer 1

【答案】問題發現：（1）證明見解析；（2）證明見解析；

拓展探究：∠AEB=90°．

【解析】

試題（1）先證出∠ACD=∠BCE，那么△ACD≌△BCE，根據全等三角形證出AD=BE；

（2）由（1）證得△ACD≌△BCE，得到∠ADC=∠BEC通過等量代換得到∠DCB=∠EBC，有內錯角相等得到CD∥BE；

（3）證明△ACD≌△BCE，得出∠ADC=∠BEC，由△DCE為等腰直角三角形，得到∠CDE=∠CED=45°，因為點A，D，E在同一直線上，得到∠ADC=135°，∠BEC=135°，于是得到∠AEB=∠BEC-∠CED=90°．

試題解析：（1）∵△ACB和△DCE均為等邊三角形，

∴CA=CB，CD=CE，∠ACB=∠DCE=60°，

∴∠ACD=60°-∠CDB=∠BCE，

在△ACD和△BCE中，

，

∴△ACD≌△BCE（SAS）．

（2）由（1）證得△ACD≌△BCE，

∴∠ADC=∠BEC，∵∠CDE=60°，

∴∠ADC=∠BEC=120°，

∵∠DCB=60°-∠BCE，∠CBE=180°-∠BEC-∠ECB=60°-∠ECB，

∴∠DCB=∠EBC，

∴CD∥BE；

（3））∠AEB=90°，AE=BE+2CM．

理由：∵△ACB和△DCE均為等腰直角三角形，

∴CA=CB，CD=CE，∠ACB=∠DCE=90°，

∴∠ACD=∠BCE，

在△ACD和△BCE中，

∴△ACD≌△BCE（SAS），

∴AD=BE，∠ADC=∠BEC，

∵△DCE為等腰直角三角形，

∴∠CDE=∠CED=45°，

∵點A，D，E在同一直線上，

∴∠ADC=135°，

∴∠BEC=135°，

∴∠AEB=∠BEC-∠CED=90°．