Question

【題目】已知，矩形ABCD中，AB=4cm，BC=8cm，AC的垂直平分線EF分別交AD、BC與點E、F，垂足為O．

（1）如圖1，連接AF、CE．求證四邊形AFCE為菱形，并求AF的長；

（2）如圖2，動點P、Q分別從A、C兩點同時出發，沿△AFB和△CDE各邊勻速運動一周，即點P自A→F→B→A停止，點Q自C→D→E→C停止，在運動過程中，已知點P的速度為每秒5cm，點Q的速度為每秒4cm，運動時間為t秒，當A、C、P、Q四點為頂點的四邊形是平行四邊形時，求t的值．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析，AF=5cm；（2）t=秒．

【解析】試題分析：（1）根據全等推出OE=OF，得出平行四邊形AFCE，根據菱形判定推出即可，根據菱形性質得出AF=CF，根據勾股定理得出方程，求出方程的解即可；

（2）分情況討論可知，當P點在BF上、Q點在ED上時，才能構成平行四邊形，根據平行四邊形的性質列出方程求解即可．

（1）證明：∵四邊形ABCD是矩形，

∴AD∥BC，

∴∠EAO=∠FCO，

∵AC的垂直平分線EF，

∴OA=OC，

在△AOE和△COF中，

，

∴△AOE≌△COF（ASA），

∴OE=OF，

∵OA=OC，

∴四邊形AFCE是平行四邊形，

∵EF⊥AC，

∴四邊形AFCE是菱形．

∴AF=FC，

設AF=xcm，

則CF=xcm，BF=（8﹣x）cm，

∵四邊形ABCD是矩形，

∴∠B=90°，

∴在Rt△ABF中，

由勾股定理得：42+（8﹣x）2=x2，

解得x=5，即AF=5cm；

（2）顯然當P點在AF上時，Q點在CD上，此時A、C、P、Q四點不可能構成平行四邊形；

同理P點在AB上時，Q點在DE或CE上或P在BF，Q在CD時不構成平行四邊形，也不能構成平行四邊形．

因此只有當P點在BF上、Q點在ED上時，才能構成平行四邊形，

∴以A、C、P、Q四點為頂點的四邊形是平行四邊形時，PC=QA，

∵點P的速度為每秒5cm，點Q的速度為每秒4cm，運動時間為t秒，

∴PC=5t，QA=12﹣4t，

∴5t=12﹣4t，

解得t=．

∴以A、C、P、Q四點為頂點的四邊形是平行四邊形時，t=秒．