Question

如圖，直線OC，BC的函數關系式分別y₁=x和y₂=-x+6，動點P（x，0）在OB上運動（0＜x＜6），過點P作直線m與x軸垂直．
（1）求點C的坐標，并回答當x取何值時y₁＞y₂？
（2）猜想△COB是什么三角形？并用所學的幾何知識證明你的結論．
（3）設在△COB中位于直線m左側部分的面積為S，求出S與x之間函數關系式？

Answer 1

解：（1）由題意得：
，
解得：，
∴點C的坐標為（3，3）；
當x＞3時y₁＞y₂；

（2）△COB是等腰直角三角形．
證明：∵直線BC的解析式為：y₂=-x+6，
∴B（0，6），
∵直線OC的解析式為：y₁=x，
∴∠COB=45°，
∴OC==3，BC==3，
∴OC=BC，
∴∠OBC=∠COB=45°，
∴∠OCB=90°，
∴△COB是等腰直角三角形；

（3）如圖，過C作CD⊥x軸于點D，
則D（3，0），
①當0＜x≤3時，此時直線m左側部分是△PQO，
∵P（x，0），
∴OP=x，
而Q在直線y₁=x上，
∴PQ=x，
∴s=x²（0＜x≤3）；
②當3＜x＜6時，此時直線m左側部分是四邊形OPQC，
∵P（x，0），
∴OP=x，
∴PB=OB-OP=6-x，
而Q在直線y₂=-x+6上，
∴PQ=-x+6，
∴S=S_△BOC-S_△PBQ=×CD×OB-×BP×PQ=×3×6-×（6-x）×（-x+6）=-x²+6x-9（3＜x＜6）．
分析：（1）由于C是直線OC、BC的交點，根據它們的解析式即可求出坐標，然后根據圖象和交點坐標可以求出當x取何值時y₁＞y₂；
（2）由直線OC的解析式為：y₁=x，即可求得∠COB的度數，由BC的函數關系式為y₂=-x+6，即可求得點B的坐標，由兩點式，可求得OC與BC的長，則可證得△COB的形狀；
（3）此小題有兩種情況：①當0＜x≤3，此時直線m左側部分是△PQO，由于P（x，0）在OB上運動，所以PQ，OP都可以用x表示，所以s與x之間函數關系式即可求出；②當3＜x＜6，此時直線m左側部分是四邊形OPQC，可以先求出右邊的△PQB的面積，然后即可求出左邊的面積，而△PQO的面積可以和①一樣的方法求出．
點評：此題考查了一次函數的交點問題、等腰直角三角形的判定以及面積問題．此題難度較大，注意掌握數形結合思想、分類討論思想與方程思想的應用．