Question

【題目】如圖1，在菱形ABCD中，AC=2，BD=2 ，AC，BD相交于點O．
（1）求邊AB的長；
（2）如圖2，將一個足夠大的直角三角板60°角的頂點放在菱形ABCD的頂點A處，繞點A左右旋轉，其中三角板60°角的兩邊分別與邊BC，CD相交于點E，F，連接EF與AC相交于點G． ①判斷△AEF是哪一種特殊三角形，并說明理由；
②旋轉過程中，當點E為邊BC的四等分點時（BE＞CE），求CG的長．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵四邊形ABCD是菱形，

∴AC⊥BD，

∴△AOB為直角三角形，且OA= AC=1，OB= BD= ．

在Rt△AOB中，由勾股定理得：

AB= = =2

（2）解：①△AEF是等邊三角形．理由如下：

∵由（1）知，菱形邊長為2，AC=2，

∴△ABC與△ACD均為等邊三角形，

∴∠BAC=∠BAE+∠CAE=60°，

又∵∠EAF=∠CAF+∠CAE=60°，

∴∠BAE=∠CAF．

在△ABE與△ACF中，

∵ ，

∴△ABE≌△ACF（ASA），

∴AE=AF，

∴△AEF是等腰三角形，

又∵∠EAF=60°，

∴△AEF是等邊三角形．

②BC=2，E為四等分點，且BE＞CE，

∴CE= ，BE= ．

由①知△ABE≌△ACF，

∴CF=BE= ．

∵∠EAC+∠AEG+∠EGA=∠GFC+∠FCG+∠CGF=180°（三角形內角和定理），

∠AEG=∠FCG=60°（等邊三角形內角），

∠EGA=∠CGF（對頂角）

∴∠EAC=∠GFC．

在△CAE與△CFG中，

∵ ，

∴△CAE∽△CFG，

∴ ，即 ，

解得：CG=

【解析】（1）根據菱形的性質，確定△AOB為直角三角形，然后利用勾股定理求出邊AB的長度；（2）①本小問為探究型問題．要點是確定一對全等三角形△ABE≌△ACF，得到AE=AF，再根據已知條件∠EAF=60°，可以判定△AEF是等邊三角形；②本小問為計算型問題．要點是確定一對相似三角形△CAE∽△CFG，由對應邊的比例關系求出CG的長度．
【考點精析】根據題目的已知條件，利用勾股定理的概念和菱形的性質的相關知識可以得到問題的答案，需要掌握直角三角形兩直角邊a、b的平方和等于斜邊c的平方,即;a2+b2=c2；菱形的四條邊都相等；菱形的對角線互相垂直，并且每一條對角線平分一組對角；菱形被兩條對角線分成四個全等的直角三角形；菱形的面積等于兩條對角線長的積的一半．