Question

△ABC是等邊三角形，點(diǎn)A與點(diǎn)D的坐標(biāo)分別是A（4，0），D（10，0）．

（1）如圖1，當(dāng)點(diǎn)C與點(diǎn)O重合時，求直線BD的解析式；
（2）如圖2，點(diǎn)C從點(diǎn)O沿y軸向下移動，當(dāng)以點(diǎn)B為圓心，AB為半徑的⊙B與y軸相切（切點(diǎn)為C）時，求點(diǎn)B的坐標(biāo)；
（3）如圖3，點(diǎn)C從點(diǎn)O沿y軸向下移動，當(dāng)點(diǎn)C的坐標(biāo)為C時，求∠ODB的正切值．

Answer 1

解：（1）∵A（4，0），∴OA=4。
∴等邊三角形ABC的高就為。∴B（2，）。
設(shè)直線BD的解析式為y=kx+b，由題意，得
，解得：。
∴直線BD的解析式為：。
（2）作BE⊥x軸于E，∴∠AEB=90°。

∵以AB為半徑的⊙S與y軸相切于點(diǎn)C，
∴BC⊥y軸。∴∠OCB=90°。
∵△ABC是等邊三角形，∴∠ACB=60°。∴∠ACO=30°。
∴AC=2OA。
∵A（4，0），∴OA=4。∴AC=8。
∴由勾股定理得：OC=。
∵BE⊥x軸，∴AE= OA=4。∴OE=8。
∴B（8，）。
（3）如圖，以點(diǎn)B為圓心，AB為半徑作⊙B，交y軸于點(diǎn)C、E，過點(diǎn)B作BF⊥CE于F，連接AE，

∵△ABC是等邊三角形，
∴AC=BC=AB，∠ABC=∠ACB=∠BAC=60°。
∴∠OEA=∠ABC=30°。∴AE=2OA。
∵A（4，0），∴OA=4。∴AE=8。
在Rt△AOE中，由勾股定理，得OE=。
∵C（0，），∴OC=。
在Rt△AOC中，由勾股定理，得AC=。
∵，BF⊥CE，∴CF=CE=。
∴。
在Rt△CFB中，由勾股定理，得，
∴B（5，）。
過點(diǎn)B作BQ⊥x軸于點(diǎn)Q，
∴BQ=，OQ=5。∴DQ=5。
∴。

試題分析：（1）先根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)求出B點(diǎn)的坐標(biāo)，直接運(yùn)用待定系數(shù)法就可以求出直線BD的解析式。
（2）作BE⊥x軸于E，就可以得出∠AEB=90°，由圓的切線的性質(zhì)就可以而出B的縱坐標(biāo)，由直角三角形的性質(zhì)就可以求出B點(diǎn)的橫坐標(biāo)，從而得出結(jié)論。
（3）以點(diǎn)B為圓心，AB為半徑作⊙B，交y軸于點(diǎn)C、E，過點(diǎn)B作BF⊥CE于F，連接AE．根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)、圓心角與圓周角之間的關(guān)系及勾股定理就可以點(diǎn)B的坐標(biāo)，作BQ⊥x軸于點(diǎn)Q，根據(jù)正切值的意義就可以求出結(jié)論。