Question

【題目】已知四邊形ABCD中，AB=AD，AB⊥AD，連接AC，過點A作AE⊥AC，且使AE=AC，連接BE，過A作AH⊥CD于H交BE于F．
（1）如圖1，當E在CD的延長線上時，求證：①△ABC≌△ADE；②BF=EF；
（2）如圖2，當E不在CD的延長線上時，BF=EF還成立嗎？請證明你的結論．

Answer 1

【答案】
（1）

證明：（1）①如圖1，

∵AB⊥AD，AE⊥AC，

∴∠BAD=90°，∠CAE=90°，

∴∠1=∠2，

在△ABC和△ADE中，

∵

∴△ABC≌△ADE（SAS）；

②如圖1 ，

∵△ABC≌△ADE，

∴∠AEC=∠3，

在Rt△ACE中，∠ACE+∠AEC=90°，

∴∠BCE=90°，

∵AH⊥CD，AE=AC，

∴CH=HE，

∵∠AHE=∠BCE=90°，

∴BC∥FH，

∴ =1，

∴BF=EF；

（2）

解：結論仍然成立，理由是：

如圖2所示，

過E作MN⊥AH，交BA、CD延長線于M、N，

∵∠CAE=90°，∠BAD=90°，

∴∠1+∠2=90°，∠1+∠CAD=90°，

∴∠2=∠CAD，

∵MN∥AH，

∴∠3=∠HAE，

∵∠ACH+∠CAH=90°，∠CAH+∠HAE=90°，

∴∠ACH=∠HAE，

∴∠3=∠ACH，

在△MAE和△DAC中，

∵

∴△MAE≌△DAC（ASA），

∴AM=AD，

∵AB=AD，

∴AB=AM，

∵AF∥ME，

∴ =1，

∴BF=EF．

【解析】（1）①利用SAS證全等；
②易證得：BC∥FH和CH=HE，根據平行線分線段成比例定理得BF=EF，也可由三角形中位線定理的推論得出結論．
（2）作輔助線構建平行線和全等三角形，首先證明△MAE≌△DAC，得AD=AM，根據等量代換得AB=AM，根據②同理得出結論．本題考查了全等三角形的性質和判定，平行線分線段成比例的性質，本題的關鍵是能正確找出全等三角形；在幾何圖形中證明線段相等或已知線段相等的一般思路是：①證明相等線段所在的三角形全等；②利用相等線段的比值為1證相等．