Question

【題目】兩個含30°角的直角三角形ABC和直角三角形BED如圖那樣拼接，C、B、D在同一直線上，AC＝BD，∠ABC＝∠E＝30°，∠ACB＝∠BDE＝90°，M為線段CB上一個動點（不與C、B重合）．過M作MN⊥AM，交直線BE于N，過N作NH⊥BD于H．

（1）當M在什么位置時，△AMC∽△NBH？

（2）設AC＝．

①若CM＝2，求BH的長；

②當M沿線段CB運動時，連接AN（圖中未連），求△AMN面積的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）①BH＝2；②

【解析】

（1）先確定△AMC和△NBH都是直角三角形，再根據垂直平行可得：∠BNH＝30°，由相似三角形的對應關系，可得：當∠CAM＝30°時，可得：△AMC∽△NBH，從而確定M的位置；

（2）①設BH＝x，則HN＝，MH＝1+x，證明△ACM∽△MHN，則，即，可得BH的長；

②由題得AC＝BD＝，BC＝ED＝3，∠NBH＝60°，設CM＝x（0＜x＜3），BH＝t，則HN＝t，MB＝3﹣x，從而MH＝3﹣x+t，同理△ACM∽△MHN得列方程可得：BH＝x，分別表示AM和MN的長，利用三角形面積公式可得S△AMN＝＝，由x的取值范圍可得結論．

解：（1）由題知，NH⊥BD，ED⊥BD，

∴∠BNH＝30°，又△AMC與△NBH都是直角三角形，

∴當∠CAM＝30°，即當M位于∠CAB的平分線上時，△AMC∽△NBH；

（2）①Rt△ACB中，∵AC＝，CM＝2，∠CAB＝60°，

∴CB＝3，MB＝1，

設BH＝x，

∵∠EBD＝60°，

∴HN＝x，MH＝1+x，

∵MN⊥AM，

∴∠AMC+∠NMH＝90°，又∠AMC+∠CAM＝90°，

∴∠CAM＝∠HMN，

∵∠ACM＝∠MHN＝90°，

∴△ACM∽△MHN

∴，即，x＝2，即BH＝2

②由題得AC＝BD＝，BC＝ED＝3，∠NBH＝60°，

∴tan30°＝＝，

設CM＝x（0＜x＜3），BH＝t，則HN＝t，MB＝3﹣x，

從而MH＝3﹣x+t，

由△ACM∽△MHN得，

（3﹣x）（t﹣x）＝0，x＜3，

∴t＝x，即有BH＝x，

MH＝MB+BH＝3﹣x+x＝3，

AM＝，MN＝，

S△AMN＝

＝，

∴