Question

如圖，在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分線相交于點P，根據下列條件，求∠BPC的度數．
（1）若∠ABC=50°，∠ACB=70°，則∠BPC=

 

；
（2）若∠ABC+∠ACB=120°，則∠BPC=

 

；
（3）若∠A=60°，則∠BPC=

 

；
（4）若∠A=100°，則∠BPC=

 

．
（5）從以上的計算中，你能發現已知∠A，求∠BPC的公式是：∠BPC=

 

．

Answer 1

分析：由三角形的一個外角等于與它不相鄰的兩個內角的和，得∠BDC=∠1+∠A，∠BPC=∠BDC+∠4，即∠BPC=∠A+∠1+∠4，根據三角形的內角和定理可證∠1+∠4=90°-

1

2

∠A．進而求出∠BPC=90°+

1

2

∠A．

解答：解：延長BP交AD于點D，
∵BP、CP平分∠ABC和∠ACB，
∴∠1=∠2，∠3=∠4，
∵∠BDC=∠1+∠A，
∠BPC=∠BDC+∠4，
∴∠BPC=∠A+∠1+∠4，
∵∠A+∠ABC+∠ACB=180°
∴∠1+∠4=90°-

1

2

∠A．
∴∠BPC=∠A+∠1+∠4=90°+

1

2

∠A；
（1）若∠ABC=50°，∠ACB=70°，則∠BPC=120°；
（2）若∠ABC+∠ACB=120°，則∠BPC=120°；
（3）若∠A=60°，則∠BPC=120°；
（4）若∠A=100°，則∠BPC=140°．
（5）從以上的計算中，你能發現已知∠A，求∠BPC的公式是：∠BPC=180°-（∠2+∠3）=180°-

1

2

（∠ABC+

1

2

∠ACB）=180°-

1

2

（180°-∠A）=90°+

1

2

∠A．

點評：用到的知識點為：三角形的一個外角等于和它不相鄰的兩個內角的和；三角形的內角和是180°；得到相應規律是：三角形兩個內角平分線所夾的鈍角等于90°+第三個角的一半．