Question

【題目】如圖1，已知：AB∥CD，點E，F分別在AB，CD上，且OE⊥OF．

（1）求證：∠1＋∠2＝90°；

（2）如圖2，分別在OE，CD上取點G，H，使FO平分∠CFG，EO平分∠AEH，求證：FG∥EH．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析（2）證明見解析

【解析】試題分析：（1）過點O作OM∥AB，根據平行線的性質得出∠1=∠EOM，求出OM∥CD，根據平行線的性質可求解；

（2）根據平行線的性質得出∠AEH+∠CHE=180°，根據角平分線的性質和平行線的判定可求解.

試題解析：（1）方法一：過點O作OM∥AB

則∠1＝∠EOM

∵AB∥CD

∴OM∥CD

∴∠2＝∠FOM

∵OE⊥OF

∴∠EOF＝90°，即∠EOM＋∠FOM＝90°

∴∠1＋∠2＝90°

方法二：過點F作FN∥OE交AB于N

則∠1＝∠ANF，∠EOF＋∠OFN＝180°

∵OE⊥OF

∴∠EOF＝90°

∴∠OFN＝180°－∠EOF＝90°

∵AB∥CD

∴∠ANF＝∠NFD

∴∠1＝∠NFD

∵∠1＋∠OFN＋∠NFD＝180°

∴∠1＋∠2＝180°－∠OFN＝90°

（2）∵AB∥CD

∴∠AEH＋∠CHE＝180°

∵FO平分∠CFG，EO平分∠AEH

∴∠CFG＝2∠2，∠AEH＝2∠1

∵∠1＋∠2＝90°

∴∠CFG＋∠AEH＝2∠1＋2∠2＝180°

∴∠CFG＝∠CHE

∴FG∥EH