Question

【題目】已知直線AB∥CD，直線EF與AB，CD分別相交于點E，F．

（1）如圖1，若∠1=60°，求∠2=__________；∠3=__________．

（2）若點P是平面內的一個動點，連結PE，PF，探索∠EPF，∠PEB，∠PFD三個角之間的關系．

①當點P在圖2的位置時，可得∠EPF=∠PEB+∠PFD． 理由如下：

如圖2，過點P作MN∥AB，則∠EPM=∠PEB（__________）

∵AB∥CD（已知） MN∥AB（作圖）

∴MN∥CD（__________）

∴∠MPF=∠PFD （__________）

∴__________+__________=∠PEB+∠PFD（等式的性質）

即：∠EPF=∠PEB+∠PFD．請補充完整說理過程（填寫理由或數學式）

②當點P在圖3的位置時，此時∠EPF=80°，∠PEB=156°，則∠PFD=__________；

③當點P在圖4的位置時，寫出∠EPF，∠PEB，∠PFD三個角之間的關系并證明（每一步必須注明理由）．

Answer 1

【答案】（1）∠2=60°；∠3=60°；（2）①兩直線平行，內錯角相等；如果兩條直線都和第三條直線平行，那么這兩條直線也互相平行；兩直線平行，內錯角相等；∠EPM+∠FPM；②124°；③∠EPF+∠PFD=∠PEB；證明見解析

【解析】

（1）根據對頂角相等求∠2，根據兩直線平行，同位角相等求∠3；
（2）①過點P作MN//AB，根據平行線的性質得∠EPM=∠PEB，且有MN//CD，所以∠MPF=∠PFD，然后利用等式性質易得∠EPF=∠PEB十∠PFD；
②同①；
③利用平行線的性質和三角形的外角性質得到三個角之間的關系．

解：（1）應填∠2=60°，∠3=60°．理由是：

∵∠2=∠1，∠1=60°，
∴∠2=60°，
∵AB//CD
∴∠3=∠1=60°；

（2）①當點P在圖（2）的位置時，可得∠EPF=∠PEB+∠PFD． 理由如下：

如圖2，過點P作MN∥AB，則∠EPM=∠PEB（兩直線平行，內錯角相等）

∵AB∥CD（已知），MN∥AB（作圖）

∴MN∥CD（如果兩條直線都和第三條直線平行，那么這兩條直線也互相平行）

∴∠MPF=∠PFD （兩直線平行，內錯角相等）

∴　∠EPM+∠FPM　=∠PEB+∠PFD（等式的性質）

即：∠EPF=∠PEB+∠PFD

故答案為：兩直線平行，內錯角相等；如果兩條直線都和第三條直線平行，那么這兩條直線也互相平行；兩直線平行，內錯角相等；∠EPM+∠MP

②當點P在圖3的位置時，此時∠EPF=80°，∠PEB=156°，則∠PFD=124°．理由為：

如圖3所示，過點P作PM∥AB，
則∠PEB+∠EPM=180°，∠MPF+∠PFD=180°，

∴∠PEB+∠EPM+∠MPF+∠PFD=180°+180°=360°，即∠EPF+∠PEB+∠PFD=360°
∴∠PFD=360°-80°-156°=124°；
故答案為：124°

③當點P在圖4的位置時，∠EPF，∠PEB，∠PFD三個角之間關系是：　

∠EPF+∠PFD=∠PEB　

證明如下：

如圖4，過點P作MN∥AB，則∠EPM=∠PEB（兩直線平行，內錯角相等）

∵AB∥CD（已知），MN∥AB，

∴MN∥CD（如果兩條直線都和第三條直線平行，那么這兩條直線也互相平行）

∴∠MPF=∠PFD（兩直線平行，內錯角相等）

∴∠EPM-∠MPF=∠PEB-∠PFD（等式的性質）

即∠EPF+∠PFD=∠PEB