Question

如圖，已知AC⊥CM，點(diǎn)B是射線CM上一點(diǎn)（點(diǎn)B不與點(diǎn)C重合），AC=4，∠CAB的平分線AD與射線CM交于點(diǎn)D，過(guò)點(diǎn)D作DN⊥AB，垂足為N．
（1）如果AB=5，求BD的長(zhǎng)；
（2）設(shè)AB=x，BD=y，求出y關(guān)于x的函數(shù)解析式，并寫(xiě)出x的取值范圍；
（3）當(dāng)AB取何值時(shí)，四邊形ACDN的面積是△BDN面積的3倍？

Answer 1

解：（1）在直角三角形ABC中，∠ACB=90°，AC=4，AB=5，
∴．
∵AD是∠CAB的平分線，且DC⊥AC，DN⊥AB，
∴DN=DC．
在Rt△DNB和Rt△ACB中，∠DBN=∠ABC，
∴△DNB∽△ACB．
∴，
∴，
∴．

（2）在Rt△ACB中，∠ACB=90°，AC=4，AB=x，
∴．
∵△DNB∽△ACB，
∴，
∴．
∴．
（x＞4）．

（3）∵S_{四邊形ACDN}=3S_△BDN，
∴S_△ABC=4S_△BDN．
又∵△ACB∽△DNB，
∴，
∴AB=2BD．
設(shè)AB=x，則，
解方程得：．
經(jīng)檢驗(yàn)都是原方程的根，但x₂=-4不合題意，舍去．
∴，即時(shí)，四邊形ACDN的面積是△BDN面積的3倍．
分析：（1）根據(jù)勾股定理可求BC；根據(jù)角平分線性質(zhì)得CD=DN；根據(jù)△BDN∽△BAC得比例式求解；
（2）思路同上．
（3）四邊形ACDN的面積是△BDN面積的3倍，則S_△BDN=S_△ABC，即兩個(gè)三角形的相似比為1：2，亦即當(dāng)AB=2BD時(shí)，四邊形ACDN的面積是△BDN面積的3倍．
點(diǎn)評(píng)：此題考查相似三角形的判定與性質(zhì)、角平分線的性質(zhì)、解方程等知識(shí)點(diǎn)，綜合性強(qiáng)，難度大．