Question

如圖，已知AC⊥CM，點B是射線CM上一點（點B不與點C重合），AC=4，∠CAB的平分線AD與射線CM交于點D，過點D作DN⊥AB，垂足為N．
（1）如果AB=5，求BD的長；
（2）設AB=x，BD=y，求出y關于x的函數解析式，并寫出x的取值范圍；
（3）當AB取何值時，四邊形ACDN的面積是△BDN面積的3倍？

Answer 1

分析：（1）根據勾股定理可求BC；根據角平分線性質得CD=DN；根據△BDN∽△BAC得比例式求解；
（2）思路同上．
（3）四邊形ACDN的面積是△BDN面積的3倍，則S_△BDN=

1

4

S_△ABC，即兩個三角形的相似比為1：2，亦即當AB=2BD時，四邊形ACDN的面積是△BDN面積的3倍．

解答：解：（1）在直角三角形ABC中，∠ACB=90°，AC=4，AB=5，
∴BC=

AB2-AC2

=

52-42

=3．（1分）
∵AD是∠CAB的平分線，且DC⊥AC，DN⊥AB，
∴DN=DC．（1分）
在Rt△DNB和Rt△ACB中，∠DBN=∠ABC，
∴△DNB∽△ACB．（1分）
∴

DN

AC

=

DB

AB

，
∴

3-BD

4

=

BD

5

，
∴BD=

5

3

．（1分）

（2）在Rt△ACB中，∠ACB=90°，AC=4，AB=x，
∴BC=

AB2-AC2

=

x2-16

．（1分）
∵△DNB∽△ACB，
∴

DN

AC

=

DB

AB

，
∴

x2-16 -y

4

=

y

x

．（1分）
∴y=

x

4+x

x2-16

．（1分）
（x＞4）．（1分）

（3）∵S_{四邊形ACDN}=3S_△BDN，
∴S_△ABC=4S_△BDN．
又∵△ACB∽△DNB，
∴

S△ABC

S△BDN

=(

AB

BD

)2=4，
∴AB=2BD．（1分）
設AB=x，則

x2-16 - 1 2 x

4

=

1

2

，（1分）
解方程得：x1=

20

3

，x2=-4．（1分）
經檢驗x1=

20

3

，x2=-4都是原方程的根，但x₂=-4不合題意，舍去．
∴x=

20

3

，即AB=

20

3

時，四邊形ACDN的面積是△BDN面積的3倍．

點評：此題考查相似三角形的判定與性質、角平分線的性質、解方程等知識點，綜合性強，難度大．