Question

【題目】如圖，在平面直角坐標系中，正方形OABC的頂點O與原點重合，頂點A，C分別在x軸、y軸上，反比例函數(k≠0，x>0)的圖象與正方形的兩邊AB、BC分別交于點M、N，連接OM、ON、MN．若∠MON=45°，MN=2，則k的值為_______．

Answer 1

【答案】

【解析】

由反比例函數（k≠0，x＞0）的圖象與正方形的兩邊AB、BC分別交于點M、N，易證得CN=AM，即可得△OAN≌△OAM，可得ON=OM，然后設作NE⊥OM于E點，易得△ONE為等腰直角三角形，設NE=x，則ON=x，由勾股定理可求得x的值，繼而可設正方形ABCO的邊長為a，則OC=a，CN=a-，則可得到點N的坐標，繼而求得答案．

解：∵點M、N都在的圖象上，
∴S△ONC=S△OAM=k，即OCNC=OAAM，
∵四邊形ABCO為正方形，
∴OC=OA，∠OCN=∠OAM=90°，
∴NC=AM，
在△OCN和△OAM中，
，
∴△OCN≌△OAM（SAS）；
∴ON=OM，
作NE⊥OM于E點，如圖，
∵∠MON=45°，
∴△ONE為等腰直角三角形，
∴NE=OE，
設NE=x，則ON=x，
∴OM=x，
∴EM=x-x=（-1）x，
在Rt△NEM中，MN=2，
∵MN2=NE2+EM2，即22=x2+[（-1）x]2，
∴x2=2+，

∴ON2=（x）2=4+2，
∵CN=AM，CB=AB，
∴BN=BM，/span>
∴△BMN為等腰直角三角形，
∴BN=MN=，
設正方形ABCO的邊長為a，則OC=a，CN=a-，
∵在Rt△OCN中，OC2+CN2=ON2，
∴a2+（a-）2=4+2，
解得a1=+1，a2=-1（舍去），
∴OC=+1，
∴BC=OC=+1，
∴CN=BC-BN=1，
∴N點坐標為（1， +1），
將點N代入反比例函數，得：k=+1．
故答案為+1．