Question

【題目】如圖，△ABC中，AB=AC=2，∠BAC=45°，△AEF是由△ABC繞點A按逆時針方向旋轉得到的，連接BE、CF相交于點D．

（1）求證：BE=CF；
（2）當四邊形ABDF為菱形時，求CD的長．

Answer 1

【答案】
（1）證明：∵△AEF是由△ABC繞點A按逆時針方向旋轉得到的，

∴AE=AF=AB=AC=2，∠EAF=∠BAC=45°，

∴∠BAC+∠3=∠EAF+∠3，即∠BAE=∠CAF，

在△ABE和△ACF中

，

∴△ABE≌△ACF，

∴BE=CF

（2）解：∵四邊形ABDF為菱形，

∴DF=AF=2，DF∥AB，

∴∠1=∠BAC=45°，

∴△ACF為等腰直角三角形，

∴CF= AF=2 ，

∴CD=CF﹣DF=2 ﹣2．

【解析】（1）根據旋轉的性質得AE=AF=AB=AC=2，∠EAF=∠BAC=45°，然后根據“SAS”證明△ABE≌△ACF，于是根據全等三角形的性質即可得到結論；（2）根據菱形的性質得DF=AF=2，DF∥AB，再利用平行線的性質得∠1=∠BAC=45°，則可判斷△ACF為等腰直角三角形，所以CF= AF=2 ，然后計算CF﹣DF即可．
【考點精析】通過靈活運用菱形的性質和旋轉的性質，掌握菱形的四條邊都相等；菱形的對角線互相垂直，并且每一條對角線平分一組對角；菱形被兩條對角線分成四個全等的直角三角形；菱形的面積等于兩條對角線長的積的一半；①旋轉后對應的線段長短不變，旋轉角度大小不變；②旋轉后對應的點到旋轉到旋轉中心的距離不變；③旋轉后物體或圖形不變，只是位置變了即可以解答此題．