Question

【題目】已知，如圖四邊形AOBC為正方形，點C的坐標為(4 ，0)，動點P沿著折線OACB的方向以1個單位每秒的速度勻速運動，同時點Q沿著折線OBCA的方向勻速運動，速度是2個單位長度每秒，運動時間為t秒，當他們相遇時同時停止運動．

（1）點A的坐標是正方形AOBC的面積是 ．
（2）將正方形繞點O順時針旋轉45°，求旋轉后的正方形與原正方形的重疊部分的面積．
（3）運動時間t為多少秒時，以A、P、B、Q四點為頂點的四邊形為平行四邊形？
（4）是否存在這樣的t值，使△OPQ成為等腰三角形？若存在，請求出t的值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】
（1）（2,2）；16
（2）

由OC=4得，OA=OB=OC=AC=4，

旋轉后可得OA′=OA=4，
∴A′C=4-4，而可知∠CA′E=90°，∠OCB=45°，
∴△A′EC是等腰直角三角形，
∴A′E=A′C=4-4，
∴S四邊形OA’EB=S△OBC-S△A’EC=16-16．

（3）

解：當P在OA，Q在OB時，不存在；

當P在OA，Q在BC時，當AP=BQ時，又因為AO//BC，則四邊形APBQ為平行四邊形，如圖，

AP=4-t,BQ =2t-4，

則4-t=2t-4,

解得t=.

即當t=時，四邊形APBQ是平行四邊形.

（4）

存在，當Q點在BC上時，使OQ=QP，QM為OP的垂直平分線，
則有OP=2OM=2BQ，而OP=t，BQ=4-2t，

∴t=2（4-2t），
∴t=.

【解析】（1）在正方形OACB中，連接AB，交OC于D點，則OD=AD=OC=2,即A（2，2）.
正方形的面積為：=16.
所以答案是：（2，2）；16.
【考點精析】通過靈活運用等腰三角形的判定和平行四邊形的判定，掌握如果一個三角形有兩個角相等，那么這兩個角所對的邊也相等（簡稱：等角對等邊）．這個判定定理常用于證明同一個三角形中的邊相等；兩組對邊分別平行的四邊形是平行四邊形：兩組對邊分別相等的四邊形是平行四邊形；一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形；兩組對角分別相等的四邊形是平行四邊形；對角線互相平分的四邊形是平行四邊形即可以解答此題．