Question

如果一個三角形和一個矩形滿足下列條件：三角形的一邊與矩形的一邊完全重合，并且三角形的這條邊所對的角的頂點落在矩形與三角形重合的邊的對邊上，則稱這樣的矩形為三角形的“友好矩形”． 如圖①所示，矩形ABEF即為△ABC的“友好矩形”．我們發現：當△ABC是鈍角三角形時，其“友好矩形”只有一個．
（1）仿照以上敘述，請你說明什么是一個三角形的“友好平行四邊形”；
（2）如圖②，若△ABC為直角三角形，且∠C=90°，在圖②中畫出△ABC的所有“友好矩形”；
（3）若△ABC是銳角三角形，且AB=5cm，AC=7cm，BC=8cm，在圖③中畫出△ABC的所有“友好矩形”，指出其中周長最大的矩形并說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）仿照友好矩形的定義即可得出友好平行四邊形的定義；
（2）根據友好矩形的定義得出分別以AB為邊和對角線得出△ABC的所有“友好矩形”即可；
（3）利用勾股定理得出BD，AD的長，進而分別求出以BC、AB、AC為邊的“友好矩形”周長比較即可．
解答：解：（1）三角形的一邊與平行四邊形的一邊完全重合，并且三角形的這條邊所對的角的頂點落在平行四邊形與三角形重合的邊的對邊上，
則稱這樣的平行四邊形為三角形的“友好平行四邊形”．

（2）如圖②所示：


（3）如圖③，過A做AD⊥BC于D
設BD長為x cm，則DC長為（8-x）
在Rt△ABD和Rt△ADC中AD²=AB²-BD²=5²-x²，AD²=AC²-DC²=7²-（8-x）²
則5²-x²=7²-（8-x）²
解得：x=2.5，
過A做AD⊥BC于D，則有，
則以BC為邊的“友好矩形”周長為：，
以AB為邊的“友好矩形”周長為：，
以AC為邊的“友好矩形”周長為：，
∴以BC為邊的“友好矩形”周長最大．
點評：此題主要考查了四邊形綜合題以及勾股定理等知識，考查學生的閱讀理解、綜合分析及分類討論能力，難度較大．