Question

（2012•貴陽(yáng)模擬）如果一個(gè)三角形和一個(gè)矩形滿足下列條件：三角形的一邊與矩形的一邊完全重合，并且三角形的這條邊所對(duì)的角的頂點(diǎn)落在矩形與三角形重合的邊的對(duì)邊上，則稱這樣的矩形為三角形的“友好矩形”． 如圖①所示，矩形ABEF即為△ABC的“友好矩形”．我們發(fā)現(xiàn)：當(dāng)△ABC是鈍角三角形時(shí)，其“友好矩形”只有一個(gè)．
（1）仿照以上敘述，請(qǐng)你說(shuō)明什么是一個(gè)三角形的“友好平行四邊形”；
（2）如圖②，若△ABC為直角三角形，且∠C=90°，在圖②中畫出△ABC的所有“友好矩形”；
（3）若△ABC是銳角三角形，且AB=5cm，AC=7cm，BC=8cm，在圖③中畫出△ABC的所有“友好矩形”，指出其中周長(zhǎng)最大的矩形并說(shuō)明理由．

Answer 1

分析：（1）仿照友好矩形的定義即可得出友好平行四邊形的定義；
（2）根據(jù)友好矩形的定義得出分別以AB為邊和對(duì)角線得出△ABC的所有“友好矩形”即可；
（3）利用勾股定理得出BD，AD的長(zhǎng)，進(jìn)而分別求出以BC、AB、AC為邊的“友好矩形”周長(zhǎng)比較即可．

解答：解：（1）三角形的一邊與平行四邊形的一邊完全重合，并且三角形的這條邊所對(duì)的角的頂點(diǎn)落在平行四邊形與三角形重合的邊的對(duì)邊上，
則稱這樣的平行四邊形為三角形的“友好平行四邊形”．

（2）如圖②所示：


（3）如圖③，過(guò)A做AD⊥BC于D
設(shè)BD長(zhǎng)為x cm，則DC長(zhǎng)為（8-x）
在Rt△ABD和Rt△ADC中AD²=AB²-BD²=5²-x²，AD²=AC²-DC²=7²-（8-x）²
則5²-x²=7²-（8-x）²
解得：x=2.5，
過(guò)A做AD⊥BC于D，則有AD=

52-2.52

=

5

2

3

，
則以BC為邊的“友好矩形”周長(zhǎng)為：8×2+

5

2

3

×2=16+5

3

≈24.66，
以AB為邊的“友好矩形”周長(zhǎng)為：2×5+2×4

3

=10+8

3

≈23.86，
以AC為邊的“友好矩形”周長(zhǎng)為：7×2+2×

20

7

3

=14+

40

7

3

≈23.56，
∴以BC為邊的“友好矩形”周長(zhǎng)最大．

點(diǎn)評(píng)：此題主要考查了四邊形綜合題以及勾股定理等知識(shí)，考查學(xué)生的閱讀理解、綜合分析及分類討論能力，難度較大．