Question

【題目】如圖，在等邊△ABC中，點D、E分別在邊AB、BC上，AD=BE，CD與AE交于F．

（1）求∠AFD的度數；

（2）若BE=m，CE=n．

①求的值；（用含有m和n的式子表示）

②若=，直接寫出的值．

Answer 1

【答案】（1）60°；（2）①；②

【解析】

（1）利用SAS證出△ABE≌△CAD，然后根據全等三角形的性質、四邊形的內角和和等邊三角形的性質即可求出結論；

（2）過點E作EH∥AB交CD于點H，可證△CEH∽△CBD，△FEH∽△FAD，然后列出比例式，結合（1）中全等即可求出結論；

（3）根據（2）的結論可設，然后根據相似三角形的判定定理證出△AFD∽ABE，列出比例式即可求出a的值，然后用m和n表示出EF和DF，再結合已知條件即可求出結論．

解（1）∵△ABC為等邊三角形，

∴AB=BC=AC，∠B=∠BCA=∠BAC=60°

又AD=BE，

∴△ABE≌△CAD，

∴∠ADC=∠BEA

∵∠BDF＋∠ADC =180°

∴∠BDF+∠BEF=180°，

∴∠B+∠DFE=180°，

∵∠AFD+∠DFE=180°，

∴∠AFD=∠B=60°

（2）過點E作EH∥AB交CD于點H，

∴△CEH∽△CBD，△FEH∽△FAD，

∴，

由（1）△ABE≌△CAD，

∴AD=BE=m，則BD=CE=n，

∴，，

∴

（3）∵

可設

則AE=AF＋EF=

∵∠AFD=∠B=60°，∠DAF=∠EAB

∴△AFD∽ABE

∴

即

解得：

∴，

∵=

∴

整理，得

∴或（不符合實際，舍去）