Question

【題目】如圖，AB是⊙O的直徑，弦CD⊥AB于點E，AM是△ACD外角∠DAF的平分線.

(1)求證：AM是⊙O的切線.

(2)若C是優弧ABD的中點，AD＝4，射線CO與AM交于N點，求ON的長.

Answer 1

【答案】(1)證明見解析；(2)ON＝.

【解析】

(1)根據垂徑定理得到AB垂直平分CD，根據線段垂直平分線的性質得到AC＝AD，得到∠BAD＝∠CAD，由AM是△ACD的外角∠DAF的平分線，得到∠DAM＝∠FAD，于是得到結論；

(2)證明△ACD是等邊三角形，得到CD＝AD＝4，根據直角三角形的性質即可得到結論.

(1)證明：∵AB是⊙O的直徑，弦CD⊥AB于點E，

∴AB垂直平分CD，

∴AC＝AD，

∴∠BAD＝∠CAD，

∵AM是△ACD的外角∠DAF的平分線，

∴∠DAM＝∠FAD，

∴∠BAM＝(∠CAD+∠FAD)＝90°，

∴AB⊥AM，

∴AM是⊙O的切線；

(2)解：∵AC＝AD，C是優弧ABD的中點，

∴AC＝AD＝CD，

∴△ACD是等邊三角形，

∴CD＝AD＝4，

由（1）知AB垂直平分CD，則AB平分

∴CE＝DE＝2，

在中，設，則

根據勾股定理得，即

解得

∴OC＝OA＝，

∵∠ANO＝∠OCE＝30°，

∴ON＝2OA＝.