Question

【題目】已知：四邊形ABCD中，AC為對角線，∠DAC＝∠BCA，且AD＝BC，CD⊥AD于點D。

（1）如圖1，求證：四邊形ABCD是矩形。

（2）如圖2，點E和點F分別為邊AB和邊BC的中點，連接DE、DF分別交AC于點G和點H，連接BG，在不連接其它線段的情況下，請寫出所有面積是△FHC面積的2倍的所有三角形。

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）△ADG，△DGH，△CDH，△ABG．

【解析】

（1）根據平行四邊形的判定定理得到四邊形ABCD是平行四邊形，由∠D=90°，于是得到結論；
（2）根據矩形的性質得到AB=CD，根據相似三角形的性質得到AG=GH=CH，得到S△ADG=S△DGH=S△CDH，根據全等三角形的性質得到S△ABG=S△CDH，于是得到結論．

（1）證明：∵∠DAC=∠BCA，
∴AD∥BC，
∵AD=BC，
∴四邊形ABCD是平行四邊形，
∵CD⊥AD，
∴∠D=90°，
∴ABCD是矩形；
（2）解：∵四邊形ABCD是矩形，
∴AB=CD，
∵點E和點F分別為邊AB和邊BC的中點，
∴AB=CD=2AE，AD=BC=2CF，
∵AD∥BC，AB∥CD，
∴△AEG∽△CDG，△CFH∽△ADH，
∴，

，
∴，S△CDH=2S△CHF，
∴AG=GH=CH，
∴S△ADG=S△DGH=S△CDH，
在△ABG與△CDH中，

，
∴△ABG≌△CDH（SAS），
∴S△ABG=S△CDH，
∴S△ADG=S△DGH=S△CDH=S△ABG=2S△CHF，
∴面積是△FHC面積的2倍的所有三角形是△ADG，△DGH，△CDH，△ABG．