Question

如圖，直線y=-2x+8與兩坐標軸分別交于P，Q兩點，在線段PQ上有一點A，過點A分別作兩坐標軸的垂線，垂足分別為B、C．
（1）若四邊形ABOC的面積為6，求點A的坐標．
（2）有人說，當四邊形ABOC為正方形時，其面積最大，你認為正確嗎？若正確，請給予證明；若錯誤，請舉反例說明．

Answer 1

分析：（1）根據直線解析式設出點A的坐標，然后根據矩形的面積公式列式求解即可；
（2）根據點A的坐標表示出四邊形ABOC的面積表達式，然后根據二次函數的最值問題即可判斷解答．

解答：解：（1）∵點A在線段PQ上，
∴點A的坐標為（x，-2x+8），
∵AB⊥x軸，AC⊥y軸，
∴四邊形ABOC是矩形，
面積為x（-2x+8）=6，
整理得，x²-4x+3=0，
解得x₁=1，x₂=3，
當x=1時，y=-2×1+8=6，
當x=3時，y=-2×3+8=2，
所以，點A的坐標為（1，6）或（3，2）；

（2）不正確．理由如下：
∵點A在線段PQ上，
∴點A的坐標為（x，-2x+8），
∵AB⊥x軸，AC⊥y軸，
∴四邊形ABOC是矩形，
四邊形ABOC面積y=x（-2x+8）=-2x²+8x=-2（x-2）²+8，
反例：當x=2時，面積為8；此時不是正方形；
當正方形時x=-2x+8，x=

8

3

，面積為

64

9

=7

1

9

＜8．

點評：本題是對一次函數的綜合考查，主要涉及直線上的點的坐標的表示，矩形的面積，二次函數的最值問題，比較簡單．