Question

【題目】如圖，BE⊥AC、CF⊥AB于點E、F，BE與CF交于點D，DE＝DF，AF=AE，連結AD ．

求證：（1）∠FAD＝∠EAD；

（2）BD＝CD．

Answer 1

【答案】（1）見詳解；（2）見詳解．

【解析】

（1）根據BE⊥AC、CF⊥AB，DE=DF可直接得出AD是∠BAC的平分線，由角平分線的性質定理的逆定理，可知∠FAD=∠EAD；
（2）由DE=DF，AD=AD可知Rt△ADF≌Rt△ADE，可得出∠ADF=∠ADE，由對頂角相等可知∠BDF=∠CDE，進而可得出∠ADB=∠ADC，進而得△ABD≌△ACD，進而即可得到結論．

（1）∵BE⊥AC、CF⊥AB，DE=DF，

∴AD是∠BAC的平分線，

∴∠FAD=∠EAD；

（2）∵△ADF與△ADE是直角三角形，DE=DF，AD=AD，

∴Rt△ADF≌Rt△ADE（HL），

∴∠ADF=∠ADE，

∵∠BDF=∠CDE，

∴∠ADF+∠BDF=∠ADE+∠CDE，即∠ADB=∠ADC，

在△ABD與△ACD中，

∵，

∴△ABD≌△ACD（ASA），

∴BD=CD．