Question

【題目】如圖1，將兩個完全相同的三角形紙片ABC和DEC重合放置，其中∠C=90°，∠B =∠E=30°．

（1）操作發現

如圖2，固定△ABC，使△DEC繞點C旋轉．當點D恰好落在AB邊上時，填空：

線段DE與AC的位置關系是 ；

設△BDC的面積為，△AEC的面積為，則與的數量關系是 ．

（2）猜想論證

當△DEC繞點C旋轉到圖3所示的位置時，小明猜想（1）中與的數量關系仍然成立，并嘗試分別作出了△BDC和△AEC中BC、CE邊上的高DM和AN，請你證明小明的猜想．

（3）拓展探究

已知∠ABC=60°，點D是其角平分線上一點，BD=CD=4，DE∥AB交BC于點E（如圖4）．若在射線BA上存在點F，使，請求出相應的BF的長．

Answer 1

【答案】（1）； ．（2）證明見解析；（3）BF=或．

【解析】（1）； ．

（2）證明： ， ．

又， ．

又， ，

． ．

又， ．

（3）如圖，延長CD交AB于點P，

則有

∠ABD=30°，PD=2，由BD=CD=4可得∠BCD=30°，

∴∠BPD=90°，BP=，

同理可求DE=BE=，故，

當時， ，∴，

∴，即BF=或．