Question

作一個圖形關于一條直線的軸對稱圖形，再將這個軸對稱圖形沿著與這條直線平行的方向平移，我們把這樣的圖形變換叫做關于這條直線的滑動對稱變換．在自然界和日常生活中，大量地存在這種圖形變換（如圖1），結合軸對稱和平移的有關性質，解答以下問題：
（1）如圖2，在關于直線l的滑動對稱變換中，試證明：兩個對應點A，A′的連線被直線l平分；
（2）若點P是正方形ABCD的邊AD上的一點，點P關于對角線AC滑動對稱變換的對應點P′也在正方形ABCD的邊上，請僅用無刻度的直尺在圖3中畫出P′；
（3）定義：若點M到某條直線的距離為d，將這個點關于這條直線的對稱點N沿著與這條直線平行的方向平移到點M′的距離為s，稱[d，s]為點M與M′關于這條直線滑動對稱變換的特征量．如圖4，在平面直角坐標系xOy中，點B是反比例函數y=

3

x

的圖象在第一象限內的一個動點，點B關于y軸的對稱點為C，將點C沿平行于y軸的方向向下平移到點B′．
①若點B（1，3）與B′關于y軸的滑動對稱變換的特征量為[m，m+4]，判斷點B′是否在此函數的圖象上，為什么？
②已知點B與B′關于y軸的滑動對稱變換的特征量為[d，s]，且不論點B如何運動，點B′也都在此函數的圖象上，判斷s與d是否存在函數關系？如果是，請寫出s關于d的函數關系式．

Answer 1

分析：（1）作A關于直線l的對稱點A′，根據相似三角形的性質和判定求出即可；
（2）連接BD交AC于O，作直線PO．即可得出答案；
（3）①根據已知求出b′的坐標，代入函數解析式看看兩邊是否相等即可；②作B關于y軸的對稱點C，求出C的坐標，再根據平移規律得出即可．

解答：解：
（1）如圖1，作點A關于直線l的對稱點A″，連接A′A″，
∵由題意知：A′A″∥直線l，
∴△AA′A″∽△ABO，
∵點B是AA″的中點，
∴

AO

AA′

=

AB

AA″

=

1

2

，
∴O為AA′的中點；

（2）連接BD交AC于O，連接PO并延長交BD于P′，則P′為所求；

（3）①點B′不在雙曲線上，
理由是：∵點B（1，3）與B′關于y軸的滑動對稱變換的特征量為[m，m+4]，
∴m=1，m+4=5，
∴B′的坐標是（-1，-2），
把B′的坐標代入雙曲線y=

3

x

，左右兩邊不相等，
∴點B′不在雙曲線上；
②s與d存在函數關系，
如圖3，作B關于直線y的對稱點C，連接B′C，
點B與B'關于y軸的滑動對稱變換特征量為[d，s]
設點B的坐標為（d，

3

d

），則點C的坐標為（-d，

3

d

）
∴點B'的坐標為（-d，

3

d

-s），
又∵點B'在函數y=

3

x

圖象上，
∴-d×(

3

d

-s)=3，
得d•s=6，則s=

6

d

．

點評：本題考查了雙曲線的性質，正方形的性質，軸對稱性質的應用，主要考查學生的閱讀理解能力和計算能力，題目是一道比較典型的題目，比較好．