Question

【題目】如圖，已知拋物線 (a為常數，且a＞0)與x軸從左至右依次交于A，B兩點，與y軸交于點C，經過點B的直線與拋物線的另一交點為D，且點D的橫坐標為﹣5．

（1）求拋物線的函數表達式；

（2）P為直線BD下方的拋物線上的一點，連接PD、PB, 求△PBD面積的最大值．

（3）設F為線段BD上一點(不含端點)，連接AF，一動點M從點A出發，沿線段AF以每秒1個單位的速度運動到F，再沿線段FD以每秒2個單位的速度運動到D后停止，當點F的坐標是多少時，點M在整個運動過程中用時最少？

Answer 1

【答案】（1）；（2）；（3）當F坐標為(－2， )時，點M在整個運動過程中用時最少．

【解析】試題分析: (1）首先求出點A、B坐標，然后求得點D坐標，代入拋物線y=a（x+2）（x-4）（a為常數，且a＞0），求得拋物線解析式；

(2) 設P(m, ),根據三角形的面積公式即可得解；
（3）由題意，動點M運動的路徑為折線AF+DF，運動時間：t=AF+DF．作輔助線，將AF+DF轉化為AF+FG；再由垂線段最短，得到垂線段AH與直線BD的交點，即為所求的F點．

試題解析：(1)拋物線令y＝0，解得x＝－2或x＝4，

∴A(－2，0)，B(4，0)．

∵直線經過點B(4，0)，

∴，解得，

∴直線BD解析式為： ．

當x＝－5時，y＝3，

∴D(－5，3)．

∵點D(－5， )在拋物線上，

∴，

∴．

∴拋物線的函數表達式為： ．

(2)設P(m, )

∴

．

∴△BPD面積的最大值為．．

(3)作DK∥AB，AH⊥DK，AH交直線BD于點F，

∵由(2)得，DN＝,BN＝9，容易得∠DBA＝30°，∴∠BDH＝30°，

∴FG＝DF×sin30°＝，

∴當且僅當AH⊥DK時，AF+FH最小，

點M在整個運動中用時為：t＝，

∵lBD： ，∴Fx＝Ax＝－2，F(－2， )

∴當F坐標為(－2， )時，用時最少．