Question

【題目】如圖，拋物線y=ax2+ x+c（a≠0）與x軸交于A、B兩點，與y軸交于點C，拋物線的對稱軸交x軸于點D，已知點A的坐標為（﹣1，0），點C的坐標為（0，2）．

（1）求拋物線的解析式；
（2）在拋物線的對稱軸上是否存在點P，使△PCD是以CD為腰的等腰三角形？如果存在，直接寫出P點的坐標；如果不存在，請說明理由；
（3）點E是線段BC上的一個動點，過點E作x軸的垂線與拋物線相交于點F，當點E運動到什么位置時，四邊形CDBF的面積最大？求出四邊形CDBF的最大面積及此時E點的坐標．

Answer 1

【答案】
（1）

解：由題意 ，

解得 ，

∴二次函數的解析式為y=﹣ x2+ x+2

（2）

解：存在．如圖1中，

∵C（0，2），D（ ，0），

∴CD= = ，

當CP=CD時，P1（ ，4），

當DP=DC時，P2（ ， ），P3（ ，﹣ ）．

綜上所述，滿足條件的點P坐標為（ ，4）或（ ， ）或（ ，﹣

（3）

解：如圖2中，作CM⊥EF于M，

∵B（4，0），C（0，2），

∴直線BC的解析式為y=﹣ ，設E（a，﹣ +2），F（a，﹣ a2+ a+2），

∴EF=﹣ a2+ a+2﹣（﹣ +2）=﹣ a2+2a，（0≤a≤4），

∵S四邊形CDBF=S△BCD+S△CEF+S△BEF= BDOC+ EFCM+ EFBN

= + a（﹣ a2+2a）+ （4﹣a）（﹣ a2+2a）

=﹣a2+4a+

=﹣（a﹣2）2+ ，

∴a=2時，四邊形CDBF的面積最大，最大值為 ，

∴E（2，1）

【解析】（1）利用待定系數法轉化為解方程組即可．（2）如圖1中，分兩種情形討論①當CP=CD時，②當DP=DC時，分別求出點P坐標即可．（3）如圖2中，作CM⊥EF于M，設E（a，﹣ +2），F（a，﹣ a2+ a+2），則EF=﹣ a2+ a+2﹣（﹣ +2）=﹣ a2+2a，（0≤a≤4），根據S四邊形CDBF=S△BCD+S△CEF+S△BEF= BDOC+ EFCM+ EFBN，構建二次函數，利用二次函數的性質即可解決問題．
【考點精析】掌握二次函數的圖象和二次函數的性質是解答本題的根本，需要知道二次函數圖像關鍵點：1、開口方向2、對稱軸 3、頂點 4、與x軸交點 5、與y軸交點；增減性：當a>0時，對稱軸左邊，y隨x增大而減小；對稱軸右邊，y隨x增大而增大；當a<0時，對稱軸左邊，y隨x增大而增大；對稱軸右邊，y隨x增大而減小．