Question

【題目】如圖甲，拋物線y=x2-+bx+c交x軸于點A(-3，0)和點B，交y軸于點C(0，3)．

（1）求拋物線的函數表達式；
（2）若點P在拋物線上，且 ，求點P的坐標；
（3）如圖乙，設點Q是線段AC上的一動點，作DQ x軸，交拋物線于點D，求線段DQ長度的最大值．

Answer 1

【答案】
（1）解：把A(3，0)，C(0，3)代入y=x2+bx+c ，
得 解得
故該拋物線的解析式為：y=x22x+3 .
（2）解：設 ;P(x,x22x+3) ，由（1）知，該拋物線的解析式為y=x22x+3，則B(1，0)．
∵S△AOP=4S△BOC ，
∴ ×3×|x22x+3|=4× ×1×3．
整理，得(x+1)2=0或x2+2x7=0，
解得x=1或x=1± ．
則符合條件的點P的坐標為：(1，4)或(1+ ，4)或(1 ，4) 。
（3）解：設直線AC的解析式為y=kx+t ， 將A(3，0)，C(0，3)代入，
得 解得
即直線AC的解析式為y=x+3．
設Q點坐標為(x ， x+3)(3≤x≤0)，則D點坐標為(x ， x22x+3)，
QD=(x22x+3)(x+3)=x23x= + ，
∴當x= 時，QD有最大值 。
【解析】(1)用待定系數法求出拋物線的解析式；
（2）設出P點的坐標，P(x,x22x+3) ，根據平拋物線的解析式求出其與x軸的另一個交點B的坐標,然后根據三角形的面積公式及S△AOP=4S△BOC ， 列出關于x的一元二次方程 ×3×|x22x+3|=4× ×1×3；整理得到(x+1)2=0或x2+2x7=0，求解得出x的值，從而得出符合條件的點P的坐標；
（3）先用待定系數法求出直線AC的解析式，然后設出Q點坐標為(x ， x+3)(3≤x≤0)，則D點坐標為(x ， x22x+3)，根據兩點間的距離公式表示出QD=(x22x+3)(x+3)=x23x= ( x + ) 2 + ，從而得出答案。