Question

【題目】已知x1、x2是方程x2﹣（k﹣2）x+k2+3k+5=0的兩個實數(shù)根，則x12+x22的最大值是（　　）
A.19
B.18
C.15
D.13

Answer 1

【答案】B
【解析】解：由方程有實根，得△≥0，即（k﹣2）2﹣4（k2+3k+5）≥0
所以 3k2+16k+16≤0，
所以 （3k+4）（k+4）≤0
解得﹣4≤k≤﹣ ．
又由x1+x2=k﹣2，x1x2=k2+3k+5，得
x12+x22=（x1+x2）2﹣2x1x2=（k﹣2）2﹣2（k2+3k+5）=﹣k2﹣10k﹣6=19﹣（k+5）2 ，
當k=﹣4時，x12+x22取最大值18．
故選：B．
【考點精析】利用根與系數(shù)的關系和二次函數(shù)的最值對題目進行判斷即可得到答案，需要熟知一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根由方程的系數(shù)a、b、c而定；兩根之和等于方程的一次項系數(shù)除以二次項系數(shù)所得的商的相反數(shù)；兩根之積等于常數(shù)項除以二次項系數(shù)所得的商；如果自變量的取值范圍是全體實數(shù)，那么函數(shù)在頂點處取得最大值（或最小值），即當x=-b/2a時，y最值=(4ac-b2)/4a．