Question

【題目】如圖1，在平面直角坐標系中，O為坐標原點，點A（﹣4，0），直線l∥x軸，交y軸于點C（0，3），點B（﹣4，3）在直線l上，將矩形OABC繞點O按順時針方向旋轉α度，得到矩形OA′B′C′，此時直線OA′、B′C′分別與直線l相交于點P、Q．

（1）當α＝90°時，點B′的坐標為　 　．

（2）如圖2，當點A′落在l上時，點P的坐標為　 　；

（3）如圖3，當矩形OA′B′C′的頂點B′落在l上時．

①求OP的長度；②S△OPB′的值是　 　．

（4）在矩形OABC旋轉的過程中（旋轉角0°＜α≤180°），以O，P，B′，Q為頂點的四邊形能否成為平行四邊形？如果能，請直接寫出點B′和點P的坐標；如果不能，請簡要說明理由．

Answer 1

【答案】（1）（3，4）；（2）（﹣，3）；（3）①OP＝ ；② ；（4）在矩形OABC旋轉的過程中（旋轉角0°＜α≤180°），以O，P，B′，Q為頂點的四邊形能成為平行四邊形，此時點B′的坐標為（5，0），點P的坐標為（4，3）．

【解析】

（1）根據旋轉的得到B′的坐標；

（2）根據在Rt△OCA′，利用勾股定理即可求解；

（3）①根據已知條件得到△CPO≌△A′PB′，設OP＝x，則CP＝A′P＝4﹣x，在Rt△CPO中，利用OP2＝OC2+CP2，即x2＝（4﹣x）2+32即可求出x的值，即可求解；②根據S△OPB′＝PB′OC即可求解；

（4）當點B′落在x軸上時，由OB′∥PQ，OP∥B′Q，此時四邊形OPQB′為平行四邊形，再根據平行四邊形的性質即可求解.

解：（1）∵A（﹣4，0），B（﹣4，3），

∴OA＝4，AB＝3．

由旋轉的性質，可知：OA′＝OA＝4，A′B′＝AB＝3，

∴當α＝90°時，點B′的坐標為（3，4）．

故答案為：（3，4）．

（2）在Rt△OCA′中，OA′＝4，OC＝3，

∴A′C＝＝，

∴當點A′落在l上時，點P的坐標為（﹣，3）．

故答案為：（﹣，3）．

（3）①當四邊形OA′B′C′的頂點B′落在BC的延長線上時，

在△CPO和△A′PB′中，，

∴△CPO≌△A′PB′（AAS），

∴OP＝B′P，CP＝A′P．

設OP＝x，則CP＝A′P＝4﹣x．

在Rt△CPO中，OP＝x，CP＝4﹣x，OC＝3，

∴OP2＝OC2+CP2，即x2＝（4﹣x）2+32，

解得：x＝，

∴OP＝．

②∵B′P＝OP＝，

∴S△OPB′＝PB′OC＝××3＝．

故答案為：．

（4）當點B′落在x軸上時，∵OB′∥PQ，OP∥B′Q，

∴此時四邊形OPQB′為平行四邊形．

過點A′作A′E⊥x軸于點E，如圖4所示．

∵OA′＝4，A′B′＝3，

∴OB′＝＝5，A′E＝＝，OE＝＝，

∴點B′的坐標為（5，0），點A′的坐標為（，）．

設直線OA′的解析式為y＝kx（k≠0），

將A′（，）代入y＝kx，得：

＝k，解得：k＝，

∴直線OA′的解析式為y＝x．

當y＝3時，有x＝3，

解得：x＝4，

∴點P的坐標為（4，3）．

∴在矩形OABC旋轉的過程中（旋轉角0°＜α≤180°），以O，P，B′，Q為頂點的四邊形能成為平行四邊形，此時點B′的坐標為（5，0），點P的坐標為（4，3）．