Question

【題目】已知：如圖，在矩形ABCD中，對角線AC，BD相交于點O，E是CD中點，連結OE．過點C作CF∥BD交線段OE的延長線于點F，連結DF．求證：

（1）△ODE≌△FCE；
（2）四邊形ODFC是菱形．

Answer 1

【答案】
（1）證明：∵CF∥BD，

∴∠ODE=∠FCE，

∵E是CD中點，

∴CE=DE，

在△ODE和△FCE中，

，

∴△ODE≌△FCE（ASA）

（2）證明：∵△ODE≌△FCE，

∴OD=FC，

∵CF∥BD，

∴四邊形ODFC是平行四邊形，

在矩形ABCD中，OC=OD，

∴四邊形ODFC是菱形

【解析】（1）根據兩直線平行，內錯角相等可得∠ODE=∠FCE，根據線段中點的定義可得CE=DE，然后利用“角邊角”證明△ODE和△FCE全等；（2）根據全等三角形對應邊相等可得OD=FC，再根據一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形判斷出四邊形ODFC是平行四邊形，根據矩形的對角線互相平分且相等可得OC=OD，然后根據鄰邊相等的平行四邊形是菱形證明即可．
【考點精析】本題主要考查了菱形的判定方法和矩形的性質的相關知識點，需要掌握任意一個四邊形，四邊相等成菱形；四邊形的對角線，垂直互分是菱形．已知平行四邊形，鄰邊相等叫菱形；兩對角線若垂直，順理成章為菱形；矩形的四個角都是直角，矩形的對角線相等才能正確解答此題．